Codeforces 338 D. GCD Table

Posted 2020-10-25 日拱一卒 功不唐捐

http://codeforces.com/problemset/problem/338/D

 

题意：

有一张n*m的表格，其中第i行第j列的数为gcd(i,j)

给出k个数

问在这张表格中是否 有某一行中连续的某一部分 就是 这k个数

 

题意转化：

是否存在 一对i，j

满足gcd（i，j）=a1，gcd（i，j+1）=a2，…… gcd（i，j+k-1）=ak

直观上感觉：

i要满足的必要条件是 i |  lcm（a1，a2……ak）

j要满足的必要条件是

j= a1*k1，j+1=a2*k2……，j+k-1=ak*k_k

相当于

j ≡ 0 mod a1

j ≡ -1 mod a2

……

j≡ -(k-1) mod ak

利用扩展中国剩余定理可以求出 满足条件的最小的j

我们令i=lcm（a1，a2……ak）

去检验 是否满足 gcd（i，j+m-1）= a_m  m∈[1,k]

若满足条件输出YES，否则输出NO

 

为什么用满足必要条件的最小的i和j检验?

 

证明 i= lcm（a1，a2……ak）是唯一满足要求的i：

若还存在一个 i*x  满足条件，那么

将 i ， i*x，j 质因数分解，存在一个 p^k 能整除i*x、j，不能整除i

∵ i= lcm（a1，a2……ak）

∴i的质因数分解的任意一项 必须能整除 a中的某一个

而 p^k 不能整除a 中的任意一个，否则i的质因数分解包含 p^k

 

证明 满足 j ≡ -（h-1） mod a[h] 的最小的j一定满足要求

若存在一个j*x 满足条件，而j不满足条件

即 存在一个h，满足 gcd（i，j+h-1）< a[h]，gcd（i，j*x+h-1）= a[h]

将 j，j*x ，a[h]质因数分解，j*x 中 存在一个p^k2，满足

j 中 为 p^k1，a[h] 中为 p^k2 ， 且 k1<k2

∵  j ≡ -（h-1） mod a[h] 

即 j= a[h]*s - h+1

∴ j+h-1 = a[h]*s，所以k1>=k2

所以 最小的j一定满足要求

 

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

#define N 10001

LL a[N];

LL n1,a1;

LL lcm;

template<typename T>
void read(T &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-‘0‘; c=getchar(); }
}

LL gcd(LL a,LL b) { return !b ? a : gcd(b,a%b); }

bool judge_lcm(int k,LL n)
{
    lcm=1;
    for(int i=1;i<=k;++i) 
    {
        lcm=lcm/gcd(lcm,a[i])*a[i];
        if(lcm>n) return false;
    }
    return true;
}

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b) { x=1; y=0; return;}
    exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;
}

LL mul(LL a,LL b,LL mod)
{
    LL res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) { b--; res+=a; res%=mod; }
        a<<=1; a%=mod; b>>=1;
    }
    return res;
}    

LL merge(LL n2,LL a2)
{
    LL d=gcd(n1,n2),c=a2-a1;
    if(c%d) return -1;
    LL x,y;
    exgcd(n1/d,n2/d,x,y);
    LL mod=n2/d;
    x=(x%mod+mod)%mod;
    LL k=(mul(c/d,x,mod)%mod+mod)%mod;
    a1=(a1+n1*k%(mod*n1))%(mod*n1);
    n1*=mod;
    return a1;
}

int main()
{
    LL n,m; int k;
    read(n); read(m); read(k);
    for(int i=1;i<=k;++i) read(a[i]);
    if(!judge_lcm(k,n))
    {
        puts("NO");
        return 0;
    }
    n1=a[1]; a1=0;
    LL j=a1;
    for(int i=2;i<=k;++i)
    {
        j=merge(a[i],a[i]-(i-1));
        if(j==-1) { puts("NO"); return 0; }
    }
    if(!j) j=lcm;
    if(j+k-1>m) { puts("NO"); return 0;}
    for(int i=1;i<=k;++i) 
        if(gcd(lcm,j+i-1)!=a[i]) { puts("NO"); return 0; }
    puts("YES");
}