倍增法求LCA

Posted 2020-10-24 mybing

文章来源：https://www.cnblogs.com/FuTaimeng/p/5655616.html

倍增算法可以在线求树上两个点的LCA，时间复杂度为nlogn

预处理：通过dfs遍历，记录每个节点到根节点的距离dist[u]，深度d[u]

init()求出树上每个节点u的2^i祖先p[u][i]

求最近公共祖先，根据两个节点的的深度，如不同，向上调整深度大的节点，使得两个节点在同一层上，如果正好是祖先结束，否则，将连个节点同时上移，查询最近公共祖先。

void dfs(int u){
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int to=edge[i].to;
        if(to==p[u][0])continue;
        d[to]=d[u]+1;
        dist[to]=dist[u]+edge[i].w;
        p[to][0]=u; //p[i][0]存i的父节点
        dfs(to); 
    }
}

　　

i的2^j祖先就是i的（2^(j-1))祖先的2^(j-1)祖先:

void init(){
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
        }
    }
}

　　LCA：

int lca(int a,int b){
    if(d[a]>d[b])swap(a,b); //b在下面 
    int f=d[b]-d[a];//f是高度差
    for(int i=0;(1<<i)<=f;i++){//(1<<i)&f找到f化为2进制后1的位置，移动到相应的位置
        if((1<<i)&f)b=p[b][i];//比如f=5(101),先移动2^0祖先，然后再移动2^2祖先
    }
    if(a!=b){
        for(int i=(int)log2(N);i>=0;i--){
            if(p[a][i]!=p[b][i]){//从最大祖先开始，判断a,b祖先，是否相同
                a=p[a][i]; b=p[b][i];//如不相同，a b同时向上移动2^j
            }
        }
        a=p[a][0];//这时a的father就是LCA
    }
    return a;
}

　　明明倍增的时间复杂度是O(nlogn)的，Tarjan的时间复杂度是O(n)的，但是Tarjan问什么比倍增慢那么多啊？