可以喝多少瓶啤酒

Posted 2020-06-09

可以喝多少瓶啤酒

问题

4个瓶盖，或者2个酒瓶，可以换一瓶啤酒，

现在有10块钱，啤酒2块钱一瓶，问： 共可以喝多少瓶啤酒？

解法一

问题分析

手里有10块钱，既然要喝尽可能多的啤酒，就要买尽可能的多买，所以直接全部买成啤酒，共可买5瓶。现在共有5瓶啤酒，那么可以进行以下的操作（序号越低，优先级越高）：

1. 如果有酒，则全部喝掉；
2. 如果有 >= 4个瓶盖，则换成 n/4 瓶啤酒；
3. 如果有 >= 2个酒瓶，则换成 n/2 瓶啤酒；

显然，如果用程序模拟，实现起来很简单。

结果

代码：

# encoding: utf-8

status = (5, 0, 0) # 5瓶酒，0个瓶盖，0个酒瓶

def drink(status):
    if status[0] != 0:
        return status[0] + drink((0, status[1] + status[0], status[2] + status[0]))
    elif status[1] >= 4:
        return drink((status[1] / 4, status[1] % 4, status[2]))
    elif status[2] >= 2:
        return drink((status[2] / 2, status[1], status[2] % 2))
    else:
        return 0

print drink(status)

输出:

15

那么如果初始不是5瓶，一共可以喝多少瓶呢？

初始	一共
0	0
1	1
2	3
3	7
4	11
5	15
6	19
7	23
8	27
9	31
10	35

解法二

写一段程序虽然方便快捷，但是还是有很多限制，那么有没有别的方法呢？

问题分析

观察 解法一 的输出数列 0 1 3 7 11 15 19 23 27 31 35，可以发现从 3 开始正是一个等差数列，于是：

结果

\begin{equation*} f(n) = \begin{cases} n & \quad n <= 1\ 4n-5 & \quad n > 1\ \end{cases} \end{equation*}

解法三

问题分析

1. 如果初始有 1 瓶酒：

   啤酒	瓶盖	酒瓶
   1	0	0
   0	1	1

   共可喝 1 瓶啤酒，剩余 1 个瓶盖，1 个酒瓶。

   即：\(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\) （注：表示初始 1 瓶，最终可喝 1 瓶，剩余 1 个瓶盖 1 个酒瓶）

2. 如果初始有 2 瓶酒，只要在 1瓶酒 的基础上加 1瓶酒，然后再化简即可：

   啤酒	瓶盖	酒瓶
   0	2	2
   1	2	0
   0	3	1

   共可喝 \(1 + 1 + 1 = 3\) 瓶洒，剩余 3 个瓶盖，1 个酒瓶。

   即：

   	\(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\)
   +	\(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\)
   =	\(2 \Rightarrow 2 + (0, 2, 2)\)
   =	\(2 \Rightarrow 3 + (0, 3, 1)\)

3. 如果初始有 3 瓶酒，同理，可以在 2瓶酒 的基础上加 1瓶酒，然后化简：

   啤酒	瓶盖	酒瓶
   0	4	2
   1	0	2
   0	1	3
   1	1	1
   0	2	2
   1	2	0
   0	3	1

   共可喝 \(3 + 1 + 3 = 7\) 瓶酒，剩余 3 个瓶盖，1 个酒瓶。

   即：

   	\(2 \Rightarrow 3 + (0, 3, 1)\)
   +	\(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\)
   =	\(3 \Rightarrow 4 + (0, 4, 2)\)
   =	\(3 \Rightarrow 7 + (0, 3, 1)\)

注意，我们发现一个性质：

(0, 3, 1) + (0, 1, 1) = (0, 4, 2) = 3 + (0, 3, 1)

这也意味着，如果我们初始有 2 瓶酒，那么最终可以喝到 3 瓶酒，并剩余 (0, 3, 1)。此后，每拿到 1 瓶额外的酒，就可以再喝这瓶酒本身，加另外可以兑换的 3 瓶酒，即 4 瓶酒，且剩余 (0, 3 , 1)。即对于 n >= 2 的情况，\(f(n) = (n-2) \times 4 + 3 = 4n- 5\) 。因此，可得：

结果

\begin{equation*} f(n) = \begin{cases} n & \quad n <= 1\ 4n-5 & \quad n > 1\ \end{cases} \end{equation*}

解法四

问题分析

啤酒2元一瓶，4个瓶盖可以换1瓶啤酒，则瓶盖价值0.5元；2个空瓶可以换一瓶啤酒，则空瓶价值1元；进而推出瓶内啤酒的价值是0.5元，所以10元可以喝20瓶。那么具体怎么操作呢？

结果

直接来20瓶，喝完兑换 5+10 瓶，付10元。