Support Vector Machine：Soft Margin 平衡之美

Posted 2020-10-24 Rhys_Wang

很多材料上面讲道“引入Soft Margin的原因是因为数据线性不可分”，个人认为有些错误，其实再难以被分解的数据，如果我们用很复杂的弯弯绕曲线去做，还是可以被分解，并且映射到高维空间后认为其线性可分。但如果我们细细思考，其实很多算法都有一样的索求：寻求一种之于“最大限度拟合训练集”and“获得更好归纳能力”的平横，也就是所谓的Overfitting and Underfitting。也像人的性格，太过纠结细节或者神经太过大条，都难以和人相处愉快。那让我们的训练集的数据，必须要用很复杂的曲线才可以分割时，我们引入soft margin的概念。

 

在未引入Soft Margin的SVM中，我们希望每个训练集中的数据点至少满足如下条件，即距离Margin的函数距离大于0，也即距离Hyperplane的函数距离大于1

而考虑到，如果有部分outliers点的函数距离小于我们的期望值了，该偏离为ξ，那么这些点满足的条件是：

那么，我们把之前的优化问题如下：

转化为了：

也就是说，一方面我们需要优化ω，使得margin=1/|| ω||值达到最大化，另一方面我们选择的 ω又要使得outliers的偏离值之和最小，在二者之间寻求一种平衡。C是平衡系数，用于调整两部分调整项之间的权重。该优化的拉格朗日函数为：

经过求对偶，利用KKT条件：

带回到原L函数中，ξ的系数会变成C-α-r=0，因而被消去，所以经过推导，Dual问题变为：

可以看到，形式几乎和原问题一样，只是在α的条件上加了个上限C。