Sum of xor

Posted 2020-10-24 JZYshuraK_彧

Sum of xor jdoj-2160

　　　　题目大意：给你一个n，求1^2^...^n。

　　　　注释：$n<=10^{18}$。

　　　　　　想法：第一道异或的题。先来介绍一下什么是异或。a^b表示分别将两个数变成二进制后，从左到右按位取异或。两个异或字符，相同为0，不同为1。接下来，我们来证明异或的一些性质。

　　　　　　　　1.异或单位独立性。两个数的二进制，如果位数不够按位补全。我们显然可以证明，每一位上的异或显然独立的。

　　　　　　　　2.a^0=a，a^a=0。显然。

　　　　　　　　3.异或交换律。我们对于三个数来进行考虑。不妨设为a,b,c。我们只需证明a^b^c=a^(b^c)。显然，对于三个数的每一位来讲，必定有两个数相等(鸽巢原理)。所以，只剩下另一个数。如果相等的两个数是0，或1，我们都可以借助异或的第一条性质进行言简意赅的证明。

　　　　　　　　4.异或的诡异性质。任意的a属于$N^+$，都有4a^(4a+1)^(4a+2)^(4a+3)=0。有第一条即可证明。这是显然的，因为这四个数的除去最后两位都是一样的，有第一条性质，在前面去异或的时候都是0。然后，再有第2条性质，就可以证明。

　　　　　　　　异或的应用：假设有一段序列。所有的数都出现了两次，只有一个数出现了一次。全取异或，由第二条性质，证毕。

　　　　　　　　然后，关于这道题，我们发现，由第4条性质和第二条性质的前半部分，我们可以将这个异或和转化为不大于n的4的倍数到n的异或和。显然，迎刃而解。

　　　　　　最后，附上丑陋的代码... ...

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 typedef long long ll;
 4 using namespace std;
 5 int main()
 6 {
 7     ll n;
 8     scanf("%lld",&n);
 9     ll ans=0;
10     for(ll i=n/4*4;i<=n;i++)
11     {
12         ans^=i;
13     }
14     printf("%lld\n",ans);
15     return 0;
16 }

 

　　　　小结：既然n是long long那么i也必须是long long。