CF D. Beautiful numbers （数位dp）

Posted 2020-10-24 llguanli

http://codeforces.com/problemset/problem/55/D

Beautiful Numbers : 这个数能整除它的全部位上非零整数。问[l,r]之间的Beautiful Numbers的个数。

若一个数能整除它的全部的非零数位。那么相当于它能整除个位数的最小公倍数。

因此记忆化搜索中的參数除了len(当前位)和up（是否达到上界），有一个prelcm表示前面的数的最小公倍数。推断这个数是否是Beautiful Numbers，还要有一个參数表示前面数，可是这个数太大，须要缩小它的范围。

难点：

缩小前面组成的数的范围。

能够发现全部个位数的最小公倍数是2520，如果当前的Beautiful Numbers是x，

那么 x % lcm{dig[i]} = 0, 

又 2520%lcm{dig[i]} = 0，

那么x%2520%lcm{ dig[i] } = 0，x范围由9*10^18变为2520。

处理超内存问题。

经过分析后能够设出dp[20][2050][2050]，dp[i][j][k]表示处理到i位，前面的数的最小公倍数为j。前面的数%2520为k。

但这样

明显会TLE。。

由于1~9组成的最小公倍数仅仅有48个，能够离散化，这样数组就降到了dp[20][50][2520]。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
//#define LL __int64
#define LL long long
#define eps 1e-12
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 4010;
const int max_lcm = 2520;

LL gcd(LL a, LL b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}
LL lcm(LL a, LL b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int dig[25];
LL dp[25][50][2525];
int hash[2525];

LL dfs(int len, int prelcm, int prenum, int up)
{
    if(len == 0)
    {
        return prenum%prelcm == 0;
    }
    if(!up && dp[len][hash[prelcm]][prenum] != -1)
        return dp[len][hash[prelcm]][prenum];
    int n = up ?
 dig[len] : 9;
    LL res = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++)
    {
        int nownum = (prenum*10+i)%max_lcm;
        int nowlcm = prelcm;
        if(i)
            nowlcm = lcm(prelcm,i);
        res += dfs(len-1,nowlcm,nownum,up&&i==n);
    }
    if(!up)
        dp[len][hash[prelcm]][prenum] = res;
    return res;
}

LL cal(LL num)
{
    int len = 0;
    while(num)
    {
        dig[++len] = num%10;
        num /= 10;
    }
    return dfs(len,1,0,1);
}

int main()
{
    int test;
    LL a,b;
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= 2520; i++) //离散化
    {
        if(max_lcm % i == 0)
            hash[i] = ++cnt;
    }

    scanf("%d",&test);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int item = 1; item <= test; item++)
    {
        scanf("%I64d %I64d",&a,&b);
        printf("%I64d\n",cal(b) - cal(a-1));
    }

    return 0;
}