HDU.3571.N-dimensional Sphere(高斯消元 模线性方程组)

Posted 2020-10-24 SovietPower

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高斯消元详解

/*
$Description$
在n维空间中给定n+1个点，求一个点使得这个点到所有点的距离都为R(R不给出)。点的任一坐标|xi|<=1e17.
$Solution$
根据题意可以列出n+1个二元n次方程，相邻的方程相减可以把二次项和R全部约掉，得到n个一元n次方程。
但需要注意这题数据量较大，最大的可能解范围为1e17，如果利用大数(高精...) 乘法的复杂度会很高
可以采用同余的方法，所有运算需要模一个足够大的素数(>1e17)，可以用Miller_Rabin生成一个。。还有快速乘就不说了。
这样利用同余方程可以求出一个最小的非负解。
由于这题数据会有负数，而同余求出的是非负数，为消除这种情况，需对所有数值加上一个偏移量1e17，最后的解再减去偏移量。
 */
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=55;
const LL mod=200000000000000003ll;
const LL offset=1e17;

LL A[N][N],B[N];

inline LL read()
{
    LL now=0,f=1;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now*f;
}
inline LL Mult(LL a,LL b)
{
    LL tmp=a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod;
    return tmp<0?tmp+mod:tmp;
}
//#define Add(x,y) ((x)+=(y),(x)>=mod?(x)-=mod:0)
//inline LL Mult(LL a,LL b)
//{
//  LL t=0;
//  for(;b;b>>=1,Add(a,a))
//      if(b&1) Add(t,a);
//  return t;
//}
namespace Gauss
{
    int n;
    LL f[N][N],ans[N];
    LL Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
    {
        if(!b) x=1,y=0;
        else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
    }
    LL Inv(LL a)
    {
        LL x,y; Exgcd(a,mod,x,y);
        return (x%mod+mod)%mod;
    }
    void Init()
    {
        for(int i=0; i<n; ++i)
        {
            for(int j=0; j<n; ++j)
                f[i][j]=((A[i+1][j]-A[i][j]<<1)%mod+mod)%mod;
            f[i][n]=((B[i+1]-B[i])%mod+mod)%mod;
        }
    }
    void Solve()
    {
        for(int j=0; j<n; ++j)
        {
            int mxrow=j;
            for(int i=j+1; i<n; ++i)
                if(f[i][j]>f[mxrow][j]) mxrow=i;
            if(mxrow!=j) std::swap(f[mxrow],f[j]);
            LL inv=Inv(f[j][j]);
            for(int i=j+1; i<n; ++i)
                if(f[i][j])
                {
                    LL t=Mult(f[i][j],inv);
                    f[i][j]=0;
                    for(int k=j+1; k<=n; ++k)
                        f[i][k]=((f[i][k]-Mult(t,f[j][k]))%mod+mod)%mod;
                }
        }
        for(int i=n-1; ~i; --i)
        {
            for(int j=i+1; j<n; ++j)
                f[i][n]=(f[i][n]-Mult(ans[j],f[i][j]))%mod;
            (f[i][n]+=mod)%=mod;
            ans[i]=Mult(f[i][n],Inv(f[i][i]));
        }
        for(int i=0; i<n-1; ++i) printf("%lld ",ans[i]-offset);
        printf("%lld\n",ans[n-1]-offset);
//      for(int i=0; i<n-1; ++i) printf("%I64d ",ans[i]-offset);
//      printf("%I64d\n",ans[n-1]-offset);

    }
}

int main()
{
    int t=read(),n;
    for(int kase=1; kase<=t; ++kase)
    {
        memset(B,0,sizeof B);
        Gauss::n=n=read();
        for(int i=0; i<=n; ++i)
            for(int j=0; j<n; ++j)
                A[i][j]=read()+offset,
                B[i]+=Mult(A[i][j],A[i][j]), B[i]>=mod?B[i]-=mod:0;
        printf("Case %d:\n",kase);
        Gauss::Init(), Gauss::Solve();
    }
    return 0;
}