ZCMU 1894: Power Eggs

Posted 2020-10-24 日拱一卒 功不唐捐

http://acm.zcmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1894

 

题意：

有M个鹰蛋，N层楼，鹰蛋的硬度是E，也就是说在1~E层楼扔下去不会碎，E+1层楼扔下去会碎。

给定M,N，问最坏情况下至少几次能得到E的具体的值。（E可能为0）

①n<=100。

②n<=1000。

③n<=100000。

④n<=1000000。

⑤n<=1000000000。

 

推荐学习资料： 朱晨光IOI2004集训队论文 从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化

 

算法一： O（n^3）

dp[i][j] 表示用i个蛋在j层楼上确定E，最坏情况下的最少次数

枚举在第w层扔下1个蛋，要么碎，要么不碎

碎：用剩下的i-1个蛋在下面的w-1层里确定E

不碎：剩下的i个蛋在 w+1~n 层里确定E，这相当于在 下面的n-w 层确定E

所以dp[i][j]=min{ max(dp[i-1][w-1],dp[i][j-w]) } +1

事件复杂度为 O（n^2 * m），m认为与n同阶

 

算法二：O（n^2 * logn）

根据判定树的理论，长为n的有序线性表，最坏查找需要次数为logn [上取整]

所以当鹰蛋的个数超过 log(n+1) [上取整] 时，直接输出log(n+1) [上取整]

 

算法三：O（n*logn*logn）

比较显然的结论：dp[i][j]>=dp[i][j-1]

（严谨的证明去看论文）

dp[i][j]=min{ max(dp[i-1][w-1],dp[i][j-w]) } +1

dp[i-1][w-1] 随w的增大单调不减

dp[i][j-w] 随w的增大单调不增

对于每一个w，对应的这两条线谁在上面就取谁

所以最终更新 dp[i][j]的w是这两条线的交点

可以二分找这个w

 

算法四：O（n*logn）

dp[i][j]=min{ max(dp[i-1][w-1],dp[i][j-w]) } +1

对于任意的w，满足 dp[i][j]<= max(dp[i-1][w-1],dp[i][j-w])  +1

令w=1，那么dp[i][j]<= max(dp[i-1][0],dp[i][j-1])  +1

所以dp[i][j]<=dp[i][j-1]+1

所以 dp[i][j-1]<=dp[i][j]<=dp[i][j-1]+1

 

所以若存在一个w，能够使得dp[i][j]=dp[i][j-1]，则dp[i][j]=dp[i][j-1]

若对于所有的w，都不能使得dp[i][j]=dp[i][j-1]，则dp[i][j]=dp[i][j-1]+1

 

令p满足 dp[i][p]=dp[i][j-1]-1,dp[i][p+1]=dp[i][j-1]

那么dp[i][p]=dp[i][j-1]-1

dp[i][p+1]=dp[i][p+2]=……=dp[i][j-1]

 

计算dp[i][j]时，令j-w=p，则w=j-p

则 dp[i][j]=min{ max(dp[i-1][j-p-1],dp[i][p])  }

可以证明

当 dp[i-1][j-p-1]<=dp[i][p] 时，dp[i][j]=dp[i-1][j]

当 dp[i-1][j-p-1]>dp[i][p] 时，dp[i][j]=dp[i-1][j]+1

具体证明去看论文

 

算法五：

dp[i][j] 表示 用i个蛋，扔j次最坏情况下最大能确定的楼层数

扔一次碎了,那么剩下j-1次，剩下i-1个蛋

我们也希望用剩下的次数和剩下的蛋在下面能确定的楼层数最大，所以是dp[i-1][j-1]

 扔一次没碎,那么剩下j-1次，剩下i个蛋

我们也希望用剩下的次数和剩下的蛋在上面能确定的楼层数最大，所以是dp[i][j-1]

加上扔蛋的这一次

所以 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1]+1

如果只有一个蛋，只能1层1层的试，dp[1][i]=i

如果只有一层，dp[i][1]=1

初始化和转移都跟 组合数C 很像

C爆炸式增长，所以这个也是爆炸式增长

论文里有证明

也就是说当n很大的时候，i和j很小

当n=2e9时，i和j只取到32就A了

#include<cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL dp[33][33];

void DP()
{
    for(int i=1;i<=32;++i) dp[i][1]=1,dp[1][i]=i;
    for(int i=2;i<=32;++i)
        for(int j=2;j<=32;++j)
            dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j-1]+1;
}

int main()
{
    DP();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int n,m,ans;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ans=-1;
        for(int i=1;i<=32;++i)
            if(dp[m][i]>=n) { ans=i; break; }
        if(ans==-1) puts("Impossible");
        else printf("%d\n",ans);
    }
}