Luogu P3412 仓鼠找\\(sugar\\) \\(II\\)
题目大意：
给定一棵\\(n\\)个点的树，
仓鼠每次移动都会等概率选择一个与当前点相邻的点，并移动到此点。
现在随机生成一个起点、一个终点(可能相同)。
仓鼠希望知道它从起点走到终点的期望步数是多少。
数据范围：
对于\\(30\\%\\)，\\(n\\leq 5\\)
对于\\(60\\%\\)，\\(n\\leq 5\\times 10^3\\)
对于\\(100\\%\\)，\\(n \\leq 7\\times 10^6\\)
请将输出答案(一个分数)模上\\(998244353\\)。
思路与解法
比较套路的一题了......
那个\\(30\\%\\)实在是不会，难道是手玩？
对于 \\(60\\%\\) 的数据：
我们枚举一个树根。设\\(f[x]\\) 表示 由\\(x\\) 移动到 \\(x\\)的父亲\\(fa\\) 的 期望步数。
转移老套路，同这里所介绍的递推式法：
\\[f[u] = 1 + \\frac{\\sum_{v \\in son\\{u\\}}(f[v] + f[u])}{degree(u)}\\]
化简一波可得：
\\[f[u] = degree(u) + \\sum_{v \\in son\\{u\\}} f[v]\\]
所以枚举终点，并将终点作为根，然后\\(DP\\)一遍利用\\(size\\)统计答案。
时间复杂度\\(O(n^2)\\)，可以跑过\\(60\\%\\)
对于 \\(100\\%\\) 的数据：
其实都会\\(60\\%\\)，\\(100\\%\\)简直就是送的......
我们考虑一条边，经过它的路径只有两种情况：从下往上，从上往下。
从下往上的情况我们用上面的\\(f[u]\\)即可统计。
所以再算一遍从上往下的即可。
设\\(g[v]\\)表示 从v的父亲\\(u\\) 移动到 v 的期望步数
用一样的方法设计\\(DP\\)的转移即可：
\\[g[v] = 1 + \\frac{(g[u] + g[v]) + \\sum_{i \\in son\\{u\\}}^{i \\neq v} (f[i] + g[v])}{degree[u]}\\]
然后化简一波：
\\[g[v] = degree(u) + g[u] + \\sum_{i \\in son\\{u\\}}^{i \\neq v} f[i] \\]
计算答案的公式(考虑路径贡献即可得到)：
\\[ans = \\frac{\\sum_{i=1}^n (f[i]+g[i])\\times size[i] \\times (n - size[i])}{n^2}\\]
所以就以 \\(1\\)号结点为根，只做一遍\\(DP\\)，最后统计答案即可，时间复杂度\\(O(n)\\)。
实现代码：
注：代码中，\\(Work\\)函数求\\(f[u]\\)，\\(Work2\\)函数求\\(g[u]\\)
#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define IL inline
#define ll long long
#define _ 100005
#define mod 998244353
using namespace std;
IL int gi(){
RG int data = 0 , m = 1; RG char ch = 0;
while(ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9'))ch = getchar();
if(ch == '-'){m = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){data = (data << 1) + (data << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
return ( m ) ? data : -data;
}
ll f[_],g[_],deg[_],n,m,ans,sz[_];
struct Road{int to , next;}t[2*_]; int head[_],cnt;
IL ll Pow(RG ll T , RG ll js , RG ll S){
while(js){
if(js & 1)S = S * T % mod;
js >>= 1; T = T * T % mod;
}return S;
}
IL ll Inv(RG ll x){ return Pow(x , mod - 2 , 1); }
IL void Work(RG int u , RG int fa){
RG ll b = 0; f[ u ] = 0; sz[u] = 1;
for(RG int i = head[u] ; i ; i = t[i].next){
RG int v = t[i].to; if(v == fa)continue;
Work(v , u); b = b + f[ v ]; if(b >= mod)b -= mod;
sz[u] += sz[v];
}
if(!fa)return; if(!b){f[ u ] = 1; return;}
f[ u ] = ( deg[ u ] + b ) ; if( f[ u ] >= mod )f[ u ] -= mod;
}
IL void Work2(RG int u , RG int fa){
RG ll b = 0;
for(RG int i = head[u] ; i ; i = t[i].next){
RG int v = t[i].to; if(v == fa)continue;
b = b + f[ v ]; if(b >= mod)b -= mod;
}b = (b + g[ u ]) % mod;
for(RG int i = head[u] ; i ; i = t[i].next){
RG int v = t[i].to; if(v == fa)continue;
g[ v ] = ((deg[u] + b - f[v]) % mod + mod) % mod;
Work2(v , u);
}return;
}
int main(){
freopen("testdata.in","r",stdin);
n = gi();
for(RG int i = 1; i <= n - 1; i ++){
RG int u = gi() , v = gi();
t[ ++ cnt ] = (Road){ v , head[u] }; head[u] = cnt;
t[ ++ cnt ] = (Road){ u , head[v] }; head[v] = cnt;
deg[ u ] ++; deg[ v ] ++;
}
Work(1 , 0); g[1] = g[0] = 0; Work2(1 , 0);
ans = 0;
for(RG int i = 1; i <= n; i ++)
ans = (ans + f[i] * sz[i] % mod * (n - sz[i]) % mod) % mod;
for(RG int i = 1; i <= n; i ++)
ans = (ans + g[i] * sz[i] % mod * (n - sz[i]) % mod) % mod;
ans = ans * Inv(n * n % mod) % mod;
cout << ans; return 0;
}