Hackerrank: Week of Code 36

Posted liouzhou_101

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Hackerrank: Week of Code 36相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Cut a Strip

题目简述:给定$n \times m$的矩阵$a[][]$,要求选择一个$x \times 1(1 \leq x \leq k)$的(连续)子矩阵并清零后,找到最大和的(连续)子矩阵。

数据范围:$1 \leq n, m, k \leq 380$。

题解:

子矩阵可以用四个参数表示$(x_1, y_1, x_2, y_2)$,其中$(x_1, y_1)$是其左上角,$(x_2, y_2)$是其右上角。

我们枚举子矩阵的$y_1$和$y_2(1 \leq y_1 \leq y_2 \leq m)$,令$c[i] = a[i][y_1]+\dots+a[i][y_2](1 \leq i \leq n)$。

接着枚举子矩阵经过的某行$x(1 \leq x \leq n)$,则经过第$x$行的子矩阵的最大和为

($c[1], \dots, c[x-1]$的最大后缀和)+($c[x+1], \dots, c[n]$的最大前缀和)+(把$a[x][y_1], \dots, a[x][y_2]$中连续不超过$k$个值清零的最大和)

前两个可以预处理得到,关键在于第三个部分。

注意到

(把$a[x][y_1], \dots, a[x][y_2]$中连续不超过$k$个值清零的最大和)=c[x]-($a[x][y_1], \dots, a[x][y_2]$中连续不超过$k$个的最小和)

后者可以利用单调队列求得。

时间复杂度$O(n^3)$。

注:单调队列求数组$a[1], \dots, a[n]$的长度不超过$k$的连续子数组最小和。令$s[i] = a[1]+\dots+a[i]$表示其前缀和。

即需依次对每个$1 \leq i \leq n$,求

$$ \min_{i-k \leq j \leq i} \{s[i]-s[j]\} = s[i] - \max_{i-k \leq j \leq i} \{s[j]\} $$

从而维护区间$[i-k, i]$的最大值即可。

 

Expert Computation

题目简述:依次给出$n$个二维点$(x[i], y[i])$以及$1 \leq z[i] \leq i$,且$x[i] < x[i+1]$严格递增。强制在线依次回答

$$ \max_{1 \leq j \leq z[i]} {x[j]*y[i]-y[j]*x[i]} $$

数据范围:$1 \leq n \leq 1,000,000.$

题解:

先不考虑强制在线,即允许离线回答,则可把询问按照$z[i]$从小到大排序,然后依次维护下凸壳,回答询问时,由于下凸壳斜率单调递增,二分答案即可。

若强制在线,则可持久化维护下凸壳即可。但$n$很大,常数以及空间复杂度承受不了,只能另辟蹊径。

注意到$x[i]$严格单调增,故所维护的下凸壳的各个历史版本(history version)中,每个点(如果这个点在当前下凸壳上的话)在下凸壳上的前驱是【固定】的。

对每个点,倍增地维护这个点的$2^k$次前驱,如$pre[i][k]$就可表示第$i$个点的$2^k$次前驱。

二分答案时利用倍增特点,可在$O(\log n)$复杂度内解决。

时间空间复杂度均为$O(n \log n)$。

 

以上是关于Hackerrank: Week of Code 36的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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