一、鸽巢原理的证明
1.定义：
若有n个鸽巢和kn+1只鸽子，所有的鸽子都进入鸽巢，那么至少有一个巢中有k+1只鸽子(n，k≥0)。
2.证明(反证法)：
若每个鸽巢中的鸽子数都不大于k，则总鸽子数<=kn，与已知相悖。得证。
3.拉姆齐(Ramsey)定理的证明:6个人中，要么存在三个人彼此互相认识，要么存在三个人彼此都不认识；
证明：设六个人为六个点，认识或不认识用两种不同颜色的线段代表，因为两人只有一种关系，所以任意一点一定会引出连向其他5点的五个线段，根据鸽巢定理，有2种关系，有2*2+1=5条关系线，即k=2，
那么必定有一种关系拥有2k+1=3条关系线，得证。
4.中国剩余定理（孙子定理）的证明：
求证：设N,M除了1以外没有公约数(即N,M互质)，两个数字a,b满足0≤a<N, 0≤b<M，则恰好存在且仅存在一个数字c满足0≤C<NM且c除以n的余数为a，除以m的余数为b。
证明(反证法)：设存在两个不等的数0≤C1,C2<nm，使C1,C2关于N,M均同余，即
那么我们不妨设C1<C2，那么设k=C2-C1,那么显然，C2-C1为N,M的整数倍，即k为N,M的公倍数，则有kmin=LCM[N,M]；
因为N,M互质，由LCM求值公式知，那么k=LCM[N,M]=NM；那么C2=C1+K=C1+NM>=N*M，与假设相悖。得证。
5.一些数学定理的证明：
①求证：有理数中的无限位小数在小数点后某一位必开始循环。
证明：由有理数定义我们可设该有理数为N/M(N,M∈Z且M!=0)，那么根据竖式除法的原则，求值过程中不断更新的是分子N的值，由于不同分子都是由上次的分子对分母取模所得知，去M个不同的分子，那么根据鸽巢原理，他们中至少有两个数关于M同余，那么下一位结果也就循环了。得证。
②求证：从1到2n中，选n + 1个数，至少有一对数，其中一个数是另一个数的倍数；
证明：将选中的n+1个数中所有的2都除掉，即除以2k，由于1-2n中只有n个奇数，一定有一对数的奇数形式是相等的。这两个数分别是2mequal,2^nequal,因此一定一个数是另一个数的倍数。得证。
③求证：从1-2n中，选n+1个数，至少有一对数是互素的；
证明：我们可以将[1,2n]划分为n个区间[1,2],[3,4],......,[2n-1,2n],那么n+1个数中至少有两个数来自同一区间；由相邻两数互质知n+1个数中，至少有一对数是互素的。
④求证：对于任意正整数 n ，都能找到一个 n 的倍数，它全由数字 0 和 1 构成，且前半部分全部为1，后半部分全部为0；
证明：我们取n个数1,11,111,1111，......,i个1，由鸽巢原理知，这n个数中对n取模至少有两个数相同，设较大的数为M,较小的数为m，则易证n|M-m；因为M为长度大于m的1串，那么相减后M-m前半部分一定全部为1，后半部分全部为0；