洛谷P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY

Posted 2020-10-24 lonlyn

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3195

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：

 

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

 

输出格式：

 

输出最小费用

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 4
3
4
2
1
4

输出样例#1： 复制

   1

解析

这道题应该可以看出来用动态规划做。

和土地那道题相似，我们还是可以找最后一个块的关系。

然后我们可以得到方程：

sum[]代表前缀和，j表示最后一个包前面的那一个玩具（最后一个包没有j）

f[i]=min(f[i],f[j]+(i-j-1-L+sum[i]-sum[j])

注意题目里的i<j，而这个地方i由j转移过来，所以j<i，注意区分。

 

然后我们开始斜率优化。

设i由j、k转移过来（j<k），这地方要求k要更优，则

不要嘲讽蒟蒻的书法orz。

 

然后我们进行乱搞。

设推出来的那个不等式左侧值为k(j,k),右侧为g(i)。

我们先看队首。

若k(q[head],q[head+1])>g(i)，则q[head+1]比q[head]更优，我们让head++，直到q[head]更优为止。

对于队尾，若k(q[head-1],q[head])  >  k(q[head],i):

①k(q[head-1],q[head])  <=  g(i)，则q[head-1]比q[head]优（或一样）

②k(q[head-1],q[head])  >  g(i), 此时能算出来i比q[head]要更优。

为了培养独立思考的好习惯具体证明留给读者才不会告诉你演草纸丢了呢orz。

这样就可以让tail--，直到q[tail]更优为止。

好了这题差不多结束了，上蒟蒻的代码吧。

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 using namespace std;
 8 #define ll long long
 9 const int maxn=50010;
10 int n;
11 ll f[maxn],a[maxn];
12 ll s[maxn],l;
13 int q[maxn],head,tail;
14 double k(int i,int j){
15     return ((double)(f[i]-f[j]+(i+s[i])*(i+s[i])-(j+s[j])*(j+s[j]))
16     /(double)(2.0*(i+s[i]-j-s[j])));
17 }
18 int main(){
19     scanf("%d%lld",&n,&l);
20     for (int i=1;i<=n;++i){
21         scanf("%lld",&a[i]);
22         s[i]=s[i-1]+a[i];
23     }
24     head=tail=1;
25     for (int i=1;i<=n;++i){
26         while (head<tail&&k(q[head],q[head+1])<=(double)(i-1-l+s[i])) head++;
27         f[i]=f[q[head]]+(i-q[head]-1-l+s[i]-s[q[head]])*(i-q[head]-1-l+s[i]-s[q[head]]);
28         while (head<tail&&k(q[tail-1],q[tail])>k(q[tail],i)) tail--;
29         q[++tail]=i;
30     }
31     printf("%lld",f[n]);
32     return 0;
33 }

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