[数据结构] 最小(代价)生成树

Posted 2020-10-24 Oran‘s

　　在说明最小生成树之前，先重温一下其他的几个概念。

　　连通图：任意两个顶点都有路径相通的无向图，称为连通图。（注意不是边，而是路径）

　　强连通图：任意两个顶点都有路径相通的有向图，称为强连通图。

　　网：图的边具有一定的意义，每条边都对应着一个数据，称为权，这种图被称为网。

　　连通网，同理。

　　最小生成树

　　生成树：从一个连通图中拆出一棵连通子图，它包含了所有的顶点，但只保留了足以构成一棵树的边（N-1条边，N为顶点个数）。

　　最小生成树：对于连通网而言的，所有边的代价之和最小（权的总和最小）的生成树，就是最小生成树。

图-一个连通网和它的最小生成树

 

　　最短路径

　　最短路径：两个点之间，权值的和最小的路径就是最短路径。

　　拓扑排序

　　对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

　　直接一些说，把有向无环图中的所有顶点数据排成一列，如果数据A是指向数据B的弧的起点，那么A在这一列里一定要排在B的前面（不一定刚好排在B的前一个，因为A还可能有指向C，D...的弧）。

　　对一个有向无环图进行拓扑排序有一个可以依照的方法，我们举个例子：

　　对下图的拓扑序列，我们找到其中任意一个没有前驱的顶点（没有以他为中点的弧的顶点），提取它放在新序列的第一个位置，然后删掉和这个顶点连接的所有弧。然后继续找此时没有前驱的顶点，重复操作直到所有顶点都被放入序列。

　　对于图中的例子

　　①我们发现V6是没有前驱的，提取出来，然后删掉V6连接的边。新序列：V6

　　②继续查看，我们发现V1也是没有前驱的。提取V1，删掉V1连接的边。新序列：V6-V1

　　③提取V4，删除边，新序列：V6-V1-V4

　　④提取V3，删除边，新序列：V6-V1-V4-V3

　　⑤提取V2，提取V5，新序列：V6-V1-V4-V3-V2-V5，也是最终这个图的一个拓扑排序序列。

　　很明显，这个拓扑排序的结果不是唯一的，比如第一步可以先提取V1，最后一步可以先提取V5......但是他们的结果都是满足拓扑排序的要求的。

 

　　

图-拓扑排序方法示例