动态规划——最长不下降子序列（LIS）

Posted 2020-10-24 Just_for_Myself

　　最长不降子序列是这样一个问题：

 

　　

　　下面介绍动态规划的做法。

　　令 dp[i] 表示以 A[i] 结尾的最长不下降序列长度。这样对 A[i] 来说就会有两种可能：

1. 1.  如果存在 A[i] 之前的元素 A[j] (j<i)，使得 A[j]≤A[i] 且 dp[j]+1>dp[i]，那么就把 A[i] 跟在以 A[j] 结尾的 LIS 后面，形成一条更长的不下降子序列（令 dp[i]=dp[j]+1）。
   2.  如果 A[i] 之前的元素都比 A[i] 大，那么 A[i] 就只好自己形成一条 LIS，但是长度为 1。

　　由此可以写出状态转移方程：

　　　　　　　　　　　　dp[i] = max{1, dp[j]+1} (j=1,2,....,i-1&&A[j]<A[i])

　　上面的状态转移方程中隐含了边界：dp[i]=1(1≤i≤n)。显然 dp[i] 只与小于 i 的 j 有关，因此只要让 i 从小到大遍历即可求出整个 dp 数组。然后从整个 dp 数组中找出最大的那个就是要寻求的整个序列的 LIS 长度，整体复杂度为 O(n²)。

　　代码如下：

 1 /*
 2     最长不下降子序列 
 3 */
 4 
 5 #include <stdio.h>
 6 #include <string.h>
 7 #include <math.h>
 8 #include <stdlib.h>
 9 #include <time.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define maxn 100
13 int A[maxn], dp[maxn]; 
14 
15 int main() {
16     int n, i, j;
17     scanf("%d", &n);
18     for(i=1; i<=n; ++i) {                // 输入序列 
19         scanf("%d", &A[i]);
20     } 
21     int ans = -1;                        // 记录最大的长度 
22     for(i=1; i<=n; ++i) {
23         dp[i] = 1;                        // 初始为仅为自己 
24         for(j=1; j<i; ++j) {
25             if(A[i] >= A[j] && (dp[j]+1 > dp[i])) {
26                 dp[i] = dp[j] + 1;        // 状态转移方程 
27             }
28         }
29         if(dp[i] > ans) {
30             ans = dp[i];                // 保存最大值 
31         } 
32     } 
33     printf("%d\\n", ans);
34 
35     return 0;
36 }