好题收集 奇怪的函数(数学)

Posted 2020-10-23 Nepenthe

奇怪的函数

Description
洛谷P2759
使得$x^x$达到或超过 $n$ 位数字的最小正整数 $x$ 是多少？

Hint
乍一看是一道数学题
其实就是一道数学题
$a$ 在 $b$ 进制下的位数 $p$ 的计算公式为 $p=\\lfloor log_b a \\rfloor+1$
其实很好理解:
设$\\lfloor x \\rfloor$表示不超过 $x$ 的最大整数,若 $n=(a_k,a_k-1,…a_1,a_0)_b,a_k≠0$,
则$$b^k≤n<b^{k+1} ⇒k≤log_bn<k+1$$
即$k=\\lfloor log_bn \\rfloor$,总位数 $p=k+1$
所以$x^x$的位数就是$\\lfloor lg{x^x} \\rfloor+1$,运用对数知识就是$\\lfloor xlgx \\rfloor+1$
然后考虑到对数函数是单调的，所以可以用二分答案

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,l=1,r=2e9;
int main(){

    scanf("%lld",&n);
    while(l<r){
        LL mid=(l+r)>>1,len=(LL)(mid*log10(1.0*mid))+1;
        if(len<n) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    cout<<l<<endl;
    return 0;
}

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