[数据结构] 图

Posted 2020-10-23 Oran‘s

　　图

　　一个图，由顶点(vertex)集和边(edge)集E组成。每一条边，连接了两个顶点，也就是一个点对。

　　有向图 无向图

　　如果点对之后是分次序的（比如仅限于从A点到B点），那么这这个图就是有向图(digraph)。此时我们可以把边叫做弧(arc)。

　　如果没有次序的差别，那么就是无向图。

图-无向图和有向图

　　连通 强连通 弱连通

　　在上图的无向图中，由B到A，可以走B→A，也可以走B→C→A，还可以走B→C→D→A。

　　在上图的有向图中，由B到A，因为受到次序的限制，只能走B→A，B→C→A。

　　对于这样的线路，除了出发的顶点和结束的顶点之外，要求经过的顶点都不相同。这样这样的一组顶点序列就叫做一条路径。

　　对于无向图，如果任意两个顶点都能找到一条路径，这个无向图就是连通的。

　　对于有向图，在弧方向的限制下，如果任意两个顶点都能找到一条路径，这个有向图就是强连通的。如果去掉弧的指向才能满足条件，那么就是弱连通的。

　　完全图

　　当一个图中，每一个点和任意另一个点之间都是点对（都由边连接），这个图就是完全图。

图-完全图

　　图的现实应用举例

　　图的现实应用还是非常好理解的。

　　在城市里坐地铁，地铁线路图就是一个 图 。从 下沙江滨站 ，要前往 龙翔桥站 ，就是在找这两个顶点间的路径。

 

　　图的实现方法

　　仍然使用C语言举例。

　　邻接矩阵法

　　邻接矩阵法：用一个一维数组来保存顶点的信息，用一个二维数组来保存与 边 相关的信息。

　　比如下面这个无向图的例子，我们用0表示两个顶点间没有边，1表示这两个顶点间的边存在：

 

图-邻接矩阵法的简单示例（无向图）

　　其实二维数组中还可以存储更多的内容，比如在上面地铁的例子中，可以在二维数组中存储两个顶点的距离，然后用-1表示这两个顶点间无可通地铁路径。具体的使用方式，存储的内容都可以参照实际的需求进行变更。

　　我们再看一下有向图的例子。这一次，我们为每一条边都加入一个权，这个权的实际意义，比如两个顶点间的地铁的距离。用无穷远表示两个顶点之间没有有效的边。

　

图-邻接矩阵法的例子（带 权 的有向图）

　　需要注意的是：邻接矩阵对于边数相对顶点较少的图，就是对存储空间极大的浪费。

　　邻接表

　　对于边的数目相对于顶点较少的图，使用邻接表。

　　

图-无向图的邻接表法

　　以C语言为例，构造一个无向图的邻接表。我们需要两种结构体。构造 结构体A 来表示一个顶点。data部分存放该顶点的数据，firstedge是指针。

　　再构造一个结构体B，adjvex来表示顶点的下标或地址，next表示下一个顶点的地址。

　　现在我们用一个结构体A的数组，来装下所有顶点的数据。再以V₀这个顶点为例。V₀与V₁，V₂，V₃邻接。我们将V₀所在的结构体A的firstedge指向一个结构体B₁，这个结构体B₁的adjvex存放的是V₁的地址下标“1”，让它的next再指向下一个结构体B₂，这个结构体B₂中的adjvex存放的是V₂的地址下标2，它的next再指向第三个结构体B₃，这个结构体中存放V₃的地址下标“3”。此时，V₀所邻接的所有顶点都已经被连接在一起了。所以第三个结构体B的next为空。比较容易觉得奇怪的地方是，V₀和这三个顶点的连接其实是没有顺序之分的，但在这个表达方式中，似乎给了人一种他们有次序的错觉。实际上他也只是把与V₀邻接的所有顶点串在一起而已，连接的次序没有实际意义。

　　有向图也可以用邻接表法，但是由于有向图的弧的方向性，我们需要用两个邻接表来表示一个有向图。一个邻接表，存放从这个顶点指向外部的弧形成的图，另外一个存放指向这个顶点的弧形成的图。比如下面这个例子：

　　

图-有向图的邻接表

　　记录顶点指向外部的图时，叫做邻接表。记录指向该顶点的弧时，叫做逆邻接表。

 

　　

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

未完。