让菜鸡讲一讲斜率优化

Posted 2020-10-23 iot的Pastebin

终于把坑填到了这儿

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众所周知，斜率优化一般可以用在DP上

而你可以发现斜率优化其实就是单调队列优化的进化

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我们在做DP题的时候，有时会遇到这种转移方程

\[f(i)=min(f(j)+a(i)b(j))+C\]

C是个可能和i有关的常数，在下面我们方便叙述把它忽略掉

而a，b只和i，j有关，并且它们都单调(取min的时候，是a单减b单增的)

我们先设这个f(i)的最优值由j转移过来

而另一个位置k是一个可以转移但不是最优的奇怪位置

所以可以得到\(f(j)+a(i)b(j)<f(k)+a(i)b(k)\)

所以可以得到\(a(i)(b(j)-b(k))<f(k)-f(j)\)

所以可以得到\(a(i)<\frac{f(k)-f(j)}{b(j)-b(k)}\)

我们先设\(slp(j,k)=\frac{f(k)-f(j)}{b(j)-b(k)}\)slp=slope

那么我们搞一个单调队列维护它们

假设现在我们要算出f(i)

那么关于弹队首，如果\(slp(q[he],q[he+1])\leq a(i)\)，就把q[he]弹掉。

因为这个式子满足的时候，就说明q[he]不如q[he+1]优。

弹队尾的话，如果\(slp(q[ta-1],q[ta])\geq slp(q[ta],i)\)，就把q[ta]弹掉。

因为这个式子满足的时候，就说明q[ta-1]不会比q[ta]优。

其实如果满足的话，就意味着如果之后从队首弹q[ta-1]的时候必须也要弹掉q[ta]，所以这个q[ta]卵用没有

那么这儿有个模板题

和对应的代码

(因a,b函数的不同可能会引起符号差异)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lint;
inline int gotcha()
{
    register int a=0,b=1,c=getchar();
    while(!isdigit(c))b^=c=='-',c=getchar();
    while(isdigit(c))a=a*10+c-48,c=getchar();
    return b?a:-a;
}
const int _ = 50002;
int n,L;
lint f[_],co[_],sc[_];
#define twi(a) ((a)*(a))
lint A(int i){return sc[i]+i-1-L;}
lint B(int i){return sc[i]+i;}
double slope(int j,int k)
{return 1.00*(f[j]+twi(B(j))-f[k]-twi(B(k)))/(2*(B(j)-B(k)));}
int q[_],he,ta;
int main()
{
    register int i,j;
    memset(f,63,sizeof(f)),f[0]=sc[0]=0;
    n=gotcha(),L=gotcha();
    for(i=1;i<=n;i++)co[i]=gotcha(),sc[i]+=sc[i-1]+co[i];
    for(i=1,he=ta=0;i<=n;i++)
    {
        while(he<ta && slope(q[he],q[he+1])<=A(i))he++;
        j=q[he],f[i]=f[j]+twi(A(i)-B(j));
        while(he<ta && slope(q[ta-1],q[ta])>=slope(q[ta],i))ta--;
        q[++ta]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}