BZOJ_2820_YY的GCD_莫比乌斯反演

Posted 2020-10-23 fcwww

BZOJ_2820_YY的GCD_莫比乌斯反演

题意&分析：

$\\sum\\limits_pis[p]\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\sum\\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=p]$

$=\\sum\\limits_pis[p]\\sum\\limits_{i=1}^{\\lfloor \\frac{n}{p}\\rfloor}\\sum\\limits_{j=1}^{\\lfloor \\frac{m}{p}\\rfloor}[gcd(i,j)=1]$

$=\\sum\\limits_pis[p]\\sum\\limits_{i=1}^{\\lfloor \\frac{n}{p}\\rfloor}\\sum\\limits_{j=1}^{\\lfloor \\frac{m}{p}\\rfloor}[gcd(i,j)=1]$

$=\\sum\\limits_pis[p]\\sum\\limits_{i=1}^{\\lfloor \\frac{n}{p}\\rfloor}\\sum\\limits_{j=1}^{\\lfloor \\frac{m}{p}\\rfloor}\\sum\\limits_{d|gcd(i,j)}\\mu(d)$

$=\\sum\\limits_pis[p]\\sum\\limits_{d=1}^{\\lfloor \\frac{n}{p}\\rfloor}\\mu(d)\\sum\\limits_{i=1}^{\\lfloor \\frac{n}{dp}\\rfloor}\\sum\\limits_{j=1}^{\\lfloor \\frac{m}{dp}\\rfloor}$

$=\\sum\\limits_{Q=1}^{n}\\lfloor \\frac{n}{Q}\\rfloor\\lfloor\\frac{m}{Q}\\rfloor\\sum\\limits_{p|Q}is[p]\\mu(\\lfloor\\frac{Q}{p}\\rfloor)$

$f(n)=\\sum\\limits_{p|n}is[p]\\mu(\\lfloor\\frac{n}{p}\\rfloor)$

首先$f[i]$非积性，但可以通过μ处理，所以我们考虑线筛

1.当$i$为质数时$f[i]=1$;

2.当$i$%$p==0$时

$f(i*p)=\\sum\\limits_{d|i}is[d]\\mu(i*p/d)$

当$d!=p$时$i*p/d$有两个以上的$p$，贡献为$0$，因此此时$f(i*p)=\\mu(i)$

3.当$i$%$p!=0$时$i$与$p$互质

$f(i*p)=\\sum\\limits_{d|i}is[d]\\mu(i*p/d)+\\sum\\limits_{d|p}is[d]\\mu(i*p/d)$
$=f(i)*\\mu(p)+f(p)*\\mu(i)$
$=\\mu(i)-f(i)$

再记录下f[i]的前缀和，分块计算

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
int prime[4000010],vis[10000100],miu[10000100],f[10000100],sum[10000100],cnt;
int T,n,m;
inline void init()
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            miu[i]=-1;
            f[i]=1;
            prime[++cnt]=i;    
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=10000000;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                miu[i*prime[j]]=0;
                f[i*prime[j]]=miu[i];
                break;
            }
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            f[i*prime[j]]=miu[i]-f[i];
        }
        sum[i]=sum[i-1]+f[i];
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m)swap(n,m);
        int lst;
        LL ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i=lst+1)
        {
            lst=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1ll*(sum[lst]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
        }
        printf("%lld\\n",ans);
    }
}