笔记篇莫队算法

Posted 2020-10-23 Rabbit House~❤

嗯，我们已经能通过莫队处理查询线性结构上的查询了。
但是，这怎么能够呢= =
现在的题里面基本上都要牵扯上修改操作啊。。。
比如动不动就会出一个“把节点x的值修改为y的操作”。。。

而我们知道，莫队是离线算法，要把所有操作都读进来，那么修改操作就会对后面的查询操作造成影响。。
如何消除这种影响呢？
我们可以再加一个维度——时间。
我们对于每一个查询操作，记录一个时间T，表示之前进行过T次修改了。
然后排序的时候，按左端点的块编号为第一关键字，右端点的块编号为第二关键字，时间为第三关键字排序即可。

bool cmp(const query &a,const query &b){
    if(a.l/blk==b.l/blk){
        if(a.r/blk==b.r/blk) return a.ti<b.ti;
        return a.r<b.r;
    }
    return a.l<b.l;
}

对于每一个修改，我们只需要记录每个修改的修改前和修改后的信息，然后像移动L,R一样移动T即可。
定义一个修改的结构体，像这样：

struct modify{
    int pos,pre,now; //这次修改将pos位置从pre改为now
}；

我们只需要写一个操作：

void change(int l,int r,int x,int c) //当前区间为[l,r],把x点更改为c
{
    //TODO：这里维护信息
    if(l<=x&&x<=r)
    {
        //维护改动
    }
    //修改该点 比如col[x]=c;
}

然后我们在solve()函数中扫的时候，扫时间的话就

int T=q[i].ti;
while(ti<T) ++ti,change(l,r,t[T].pos,t[T].now); //没改的时候要改成改后的颜色
while(ti>T) change(l,r,t[T].pos,t[T].pre),ti--; //改过了的话要改回改前的颜色

经检验，对于带修改的莫队算法，分块大小分到\(n^\frac{2}{3}\) 应该是最优的，可以证明，最坏时间复杂度为\(O(n^\frac{5}{3})\)（强行不到\(n^2\)系列。。。）

下面就贴一道例题和代码吧= =
例题：bzoj2120 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2120

代码：

/**************************************************************
    Problem: 2120
    User: zyan
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:832 ms
    Memory:6840 kb
****************************************************************/
 
#include <cmath>
#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=50505;
const int C=1010101;
int n,m,blk,opt,qid,tid;
int col[N],last[N],ans[N],ex[N],cur[C];
struct query{
    int l,r,id,ti;
}q[50505];
bool cmp(const query &a,const query &b){
    if(a.l/blk==b.l/blk){
        if(a.r/blk==b.r/blk) return a.ti<b.ti;
        return a.r<b.r;
    }
    return a.l<b.l;
}
struct modify{
    int p,pre,cur;
}t[1010];
 
inline int gnum(){
    int a=0;char c=getchar();bool f=0;
    for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-'&&c!='Q'&&c!='R';c=getchar());
    if(c=='Q')return -1; if(c=='R')return -2; 
    if(c=='-') c=getchar(),f=1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0';
    if(f) return -a; return a;
}
 
void change(int l,int r,int x,int c,int &res){
    if(l<=x&&x<=r){
        cur[col[x]]--; if(!cur[col[x]]) res--;
        col[x]=c; if(!cur[col[x]]) res++; cur[col[x]]++;
    }
    else col[x]=c;
}
 
void fix(int p,int &res){
    if(ex[p]){
        cur[col[p]]--;
        if(!cur[col[p]]) res--;
    }
    else{
        if(!cur[col[p]]) res++;
        cur[col[p]]++;
    }
    ex[p]^=1;
}
 
void solve(){
    sort(q+1,q+qid+1,cmp);
    int ti=0,l=q[1].l,r=q[1].l-1,res=0;
    for(int i=1;i<=qid;i++){
        int L=q[i].l,R=q[i].r,T=q[i].ti;
        while(ti>T) change(l,r,t[ti].p,t[ti].pre,res),ti--;
        while(ti<T) ti++,change(l,r,t[ti].p,t[ti].cur,res);
        while(l<L) fix(l++,res);
        while(l>L) fix(--l,res);
        while(r>R) fix(r--,res);
        while(r<R) fix(++r,res);
        ans[q[i].id]=res;
    }
}
  
int main(){
    n=gnum(),m=gnum(); blk=sqrt(n);
     
    for(int i=1;i<=n;i++) last[i]=col[i]=gnum();
     
    for(int i=1;i<=m;i++){ opt=gnum();
        if(opt==-1) {int L=gnum(),R=gnum(); q[++qid].l=L,q[qid].r=R,q[qid].id=qid,q[qid].ti=tid;}
        else{int x=gnum(),p=gnum(); t[++tid].p=x; t[tid].pre=last[x]; t[tid].cur=p; last[x]=p;} //这里改的时候一定要记一下last表示最近一次更改后变成了什么颜色
    } solve();
    for(int i=1;i<=qid;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}

嗯 就是这样啦～