gcd&&exgcd&&斐蜀定理

Posted DukeLv

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了gcd&&exgcd&&斐蜀定理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

gcd就是求a和b最大公约数,一般方法就是递推。不多说,上代码。

一.迭代法

int gcd(int m, int n)  
{  
    while(m>0)  
    {  
        int c = n % m;  
        n = m;  
        m = c;  
    }  
    return n;  
} 

二.递归法

int Gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return Gcd(b, a % b);
}

但exgcd是个什么玩意???

百度了一下,百科这么讲的:

对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然

存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

好像很好理解的样子,百度还给了个代码

int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}

???什么玩意???

于是我又找了一段证明:

证明:

         当 b=0 时,gcd(a,b)=a,此时 x=1 , y=0

         当 b!=0 时,

         设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

         又因 a%b=a-a/b*b

         则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

    ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

    ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

    ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

    解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

    因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

    而每一组的解可根据后一组得到

    所以第一组的解 x , y 必然存在

    得证

 

void exgcd(int a,int b)
{
    if (b)
        {
            exgcd(b,a%b);
            int k=x;
            x=y;
            y=k-a/b*y;  //k就是上一组的x--   y1 = x2 - a/b*y2;
        }
    else y=(x=1)-1;
}

还有一个斐蜀定理。。。

若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是:a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

以上是关于gcd&&exgcd&&斐蜀定理的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

Gcd&Exgcd算法

bzoj1477 && exgcd学习笔记

gcd和lcm

[模板] Exgcd

到处偷的板子们。。。。

利用扩展欧几里得求最小非负整数解