gcd&&exgcd&&斐蜀定理

Posted 2020-10-23 DukeLv

gcd就是求a和b最大公约数，一般方法就是递推。不多说，上代码。

一.迭代法

int gcd(int m, int n)  
{  
    while(m>0)  
    {  
        int c = n % m;  
        n = m;  
        m = c;  
    }  
    return n;  
} 

二.递归法

int Gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return Gcd(b, a % b);
}

但exgcd是个什么玩意？？？

百度了一下，百科这么讲的：

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

好像很好理解的样子，百度还给了个代码

int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}

？？？什么玩意？？？

于是我又找了一段证明：

证明：

       　　当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0

       　　当 b!=0 时，

　　       设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

       　　又因 a%b=a-a/b*b

       　　则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

　　　　得证

 

void exgcd(int a,int b)
{
    if (b)
        {
            exgcd(b,a%b);
            int k=x;
            x=y;
            y=k-a/b*y;  //k就是上一组的x--   y1 = x2 - a/b*y2;
        }
    else y=(x=1)-1;
}

还有一个斐蜀定理。。。

若a,b是整数,且（a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.