二叉搜索树的平衡--AVL树和树的旋转（图解）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二叉搜索树的平衡--AVL树和树的旋转（图解）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
二叉搜索树只有保持*衡时其查找效率才会高。
要保持二叉搜索树的*衡不是一件易事。不过还是有一些非常经典的办法可以做到，其中最好的方法就是将二叉搜索树实现为AVL树。
AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 "An algorithm for the organization of information" 中发表了它。AVL树是一种特殊类型的二叉树，它的每个结点都保存一份额外的信息：结点的*衡因子。
结点的*衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度
插入和删除操作都会导致AVL树的自我调整（自我*衡），使得所有结点的*衡因子保持为+1、-1或0。
当子树的根结点的*衡因子为+1时，它是左倾斜的（left-heavy)。
当子树的根结点的*衡因子为 -1时，它是右倾斜的(right-heavy)。
一颗子树的根结点的*衡因子就代表该子树的*衡性。
保持所有子树几乎都处于*衡状态，AVL树在总体上就能够基本保持*衡。
AVL树的基本查找、插入结点的操作和二叉树的操作一样。但是，当向AVL树中插入一个结点后，还有一些额外的工作要做。首先，必须计算因插入操作对*衡因子带来的改变。其次，如果任何*衡因子变成了+/-2，就必须从这个结点开始往下重新*衡这颗树，这个重新*衡的过程就称为旋转。
AVL树的旋转
旋转操作用来重新*衡树的某个部分。通过重新安排结点 ，使结点之间的关系始终保持左子结点小于父结点，父结点小于右子结点。使得该树仍然是一颗二叉搜索树。旋转过后，旋转子树中的所有结点的*衡因子都为+1、-1或0。
AVL树的旋转类型有4种， 分别是LL(left-left)旋转、LR(left-right)旋转、RR(right-right)旋转和RL(right-left)旋转。
为方便理解在何时执行哪一种旋转，设x代表刚插入AVL树中的结点，设A为离x最*且*衡因子更改为2的绝对值的祖先。可以归纳为下面4种处理情况：
LL旋转
如下图所示，当x位于A的左子树的左子树上时，执行LL旋转。
设left为A的左子树，要执行LL旋转，将A的左指针指向left的右子结点，left的右指针指向A，将原来指向A的指针指向left。
旋转过后，将A和left的*衡因子都改为0。所有其他结点的*衡因子没有发生变化。
LR旋转
当x位于A的左子树的右子树上时，执行LR旋转。
设left是A的左子结点，并设A的子孙结点grandchild为left的右子结点。
要执行LR旋转，将left的右子结点指向grandchild的左子结点，grandchild的左子结点指向left，A的左子结点指向grandchild的右子结点，再将grandchild的右子结点指向A，最后将原来指向A的指针指向grandchild。
执行LR旋转之后，调整结点的*衡因子取决于旋转前grandchild结点的原*衡因子值。
如果grandchild结点的原始*衡因子为+1，就将A的*衡因子设为-1，将left的*衡因子设为0。
如果grandchild结点的原始*衡因子为0，就将A和left的*衡因子都设置为0。
如果grandchild结点的原始*衡因子为-1，就将A的*衡因子设置为0，将left的*衡因子设置为+1。
在所有的情况下，grandchild的新*衡因子都是0。所有其他结点的*衡因子都没有改变。
RR旋转
当x位于A的左子树的右子树上时，执行RR旋转。
RR旋转与LL旋转是对称的关系。
设A的右子结点为Right。要执行RR旋转，将A的右指针指向right的左子结点，right的左指针指向A，原来指向A的指针修改为指向right。
完成旋转以后，将A和left的*衡因子都修改为0。所有其他结点的*衡因子都没有改变。
RL旋转
当x位于A的右子树的左子树上时，执行RL旋转。
RL旋转与LR旋转是对称的关系。
设A的右子结点为right，right的左子结点为grandchild。要执行RL旋转，将right结点的左子结点指向grandchild的右子结点，将grandchild的右子结点指向right，将A的右子结点指向grandchild的左子结点，将grandchild的左子结点指向A，最后将原来指向A的指针指向grandchild。
执行RL旋转以后，调整结点的*衡因子取决于旋转前grandchild结点的原*衡因子。这里也有三种情况需要考虑：
如果grandchild的原始*衡因子值为+1，将A的*衡因子更新为0，right的更新为-1；
如果grandchild的原始*衡因子值为 0，将A和right的*衡因子都更新为0；
如果grandchild的原始*衡因子值为-1，将A的*衡因子更新为+1，right的更新为0；
在所有情况中，都将grandchild的新*衡因子设置为0。所有其他结点的*衡因子不发生改变。
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