石子合并

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了石子合并相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

[问题描述]:
  设有n堆石子排成一排,其编号为1、2、3、…、n(n<=100)。每堆石子的数量用:a[1]、a[2]、…、a[n] 表示,现将这n堆石子归并成一堆,归并的规则:

每次只能将相邻两堆归并成一堆,即:第 1 堆石子 a[1] 只能与第 2 堆石子 a[2] 归并,最后一堆石子 a[n] 只能与 a[n-1] 归并,中间的石子 a[i] 只能与 a[i-1] 或 a[i+1] 归并;

每次归并的代价是两堆石子的重量之和。
  我们假如5堆的石子,其中石子数分别为7,6,5,7,100

      按照贪心法,合并的过程如下:
        每次合并得分
        第一次合并  7  6   5   7    100   =11
      第二次合并  7   11     7   100=18
      第三次合并  18    7    100 =25
        第四次合并   25   100 =125

        总得分=11+18+25+125=179

    另一种合并方案

        每次合并得分
       第一次合并  7  6   5   7    100   ->13
         第二次合并  13   5     7   100->12
         第三次合并  13    12    100 ->25
         第四次合并   25   100 ->125

         总得分=13+12+25+125=175

         显然利用贪心来做是错误的,贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

    

         如果N-1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解,那么经这样的N-1次合并后的得分总和必然是最优的。

     因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

 

一:任意版
  有N堆石子,现要将石子有序的合并成一堆,规定如下:每次只能移动任意的2堆石子合并,合并花费为的一堆石子的数量。设计一个算法,将这N堆石子合并成一堆的总花费最小(或最大)。
  此类问题比较简单,就是哈夫曼编码的变形,用贪心算法即可求得最优解。即每次选两堆最少的,合并成新的一堆,直到只剩一堆为止。证明过程可以参考哈夫曼的证明过程。
 所用的数据结构:
1、 是堆,取两次堆顶的最小元素,相加后再加入堆中,重复n-1次即可。
2、 两个队列,一个是原始的从小到大排序后的石子序列A。
        一个合并后的石子生成的序列B,
  注意:这两个序列都是有序的(从小到大),总是从它们中取出最小的两个相加到序列B。



二:直线版
  在一条直线上摆着N堆石子,现要将石子有序的合并成一堆,规定如下:每次只能移动相邻的2堆石子合并,合并花费为将的一堆石子的数量。设计一个算法,将这N堆石子合并成一堆的总花费最小(或最大)。
  如果熟悉矩阵连乘对这类问题肯定非常了解。矩阵连乘每次也是合并相邻两个矩阵(只是计算方式不同)。那么石子合并问题可用矩阵连乘的方法来解决。
那么最优子结构是什么呢?如果有N堆,第一次操作肯定是从n-1个对中选取一对进行合并,第二次从n-2对中选取一对进行合并,以此类推……

  分析:我们熟悉矩阵连乘,知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵,那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。

  设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值,sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式:
  dp[i, j] = 0; (i=j)
  dp[i, j] = min{ dp[i, k] + dp[k+1, j] } + sum[i, j]; (i != j)

代码:

java:

import java.util.Scanner;
import java.lang.Math;

public abstract class StoneAdd {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int m = sc.nextInt();
		int a[] = new int[m];//存放m堆石子中各堆石子数量
		int f[] = new int[m];//存放从第一堆到第i堆的石子的总数
		int sum[][] = new int[m][m];//存放从第i堆到第j堆石子的总数
		int b[][] = new int[m][m];//吧b[i][j]即为在i~j的区间内石子合并的最优值
		
		a[0] = sc.nextInt();
		f[0] = a[0];                 //输入各堆石子数,并得到第一堆到第i堆的石子的总数
		for (int i = 1; i < a.length; i++) {
			a[i] = sc.nextInt();
			f[i] = a[i] +f[i-1];
		}
		
		for (int i = 0; i < sum.length; i++) {   //得到第i堆到第j堆石子的总数
			for (int j = i+1; j < sum[i].length; j++) {
				if(i==0) {
					sum[i][j] = f[j];
				}else {
					sum[i][j] = f[j]-f[i-1];
				}
			}
		}
		
		for (int i = 0; i < b.length; i++) {   //初始化b[][]数组为无穷大,并且当i==j的时候b[][]=0
			for (int j = i; j < b[i].length; j++) {
				b[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
				if(i==j) {
					b[i][j] = 0;
				}
			}
		}
		
		for (int i = 1; i < b.length; i++) {   
			for (int j = 0; j < b.length-i; j++) {
				for (int k = j; k < j+i; k++) {
					b[j][j+i] = Math.min(b[j][j+i], b[j][k]+b[k+1][j+i]+sum[j][j+i]);
				}
			}
		}
		
		System.out.println(b[0][m-1]);
	}
}

  

三、加强版

  • 描述

    还记得经典题石子合并吗?现在小Y将题目加强啦! 
    在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的三堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。 
    编一程序,读入石子堆数n及每堆的石子数。选择一种合并石子的方案,使得做(n-1)/2次合并,得分的总和最小。

  • 输入

    第1行一个数,表示石子堆数。 
    第2行是顺序排列的各堆石子数(<=1000),每两个数之间用空格分隔。

  • 输出

    输出合并的最小得分。

  • 例子输入

    5 
    1 2 3 4 5

  • 例子输出

    21

c:

#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,W[402],a[402],F1[402][402],F2[402][402];
int main(){
    freopen("merge.in","r",stdin);
    freopen("merge.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&W[i]);
        a[i]=a[i-1]+W[i];
    }
    memset(F1,127/2,sizeof(F1)); memset(F2,127/2,sizeof(F2));
    for (int i=n;i;i--){
        F1[i][i]=0;
        F1[i][i+2]=a[i+2]-a[i-1];
        for (int j=i+3;j<=n;j++){
            for (int k=i;k<j;k++) F2[i][j]=min(F2[i][j],F1[i][k]+F1[k+1][j]);
            for (int k=i;k<j;k++) F1[i][j]=min(F1[i][j],min(F1[i][k]+F2[k+1][j],F2[i][k]+F1[k+1][j])+a[j]-a[i-1]);
        }
    }
    if (n&1) printf("%d",F1[1][n]);
    else printf("Impossible");
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}

  

四、圆形版

  如果石子是排成圆形,其余条件不变,那么最优值又是什么呢?
  因为圆形是首尾相接的,初一想,似乎与直线排列完全成了两个不同的问题。因为每次合并后我们都要考虑最后一个与第一个的合并关系。直线版的矩阵连乘对角线式的最优子结构不见了。f(i, j)表示i-j合并的最优值似乎并不可行,因为我们可以得到的最优值第一步就是第一个与最后一个合并,那么f(i, j)并不能表示这种关系。
  修改一下,f(i, j)表示从第i个开始,合并后面j个得到的最优值。sum(i, j)表示从第i个开始直到i+j个的数量和。那么这个问题就得到解决了。注意要把其看成环形,即在有限域内的合并。

  破圆化直:将圆形的石子归并化为直线型石子归并。
  方法是:将原来的石子长度增加一倍,加在原来的后面,a[1]~a[n],a[1]~a[n],
      求从1,2,3,~n开始的n个合并的最小值,最其中一个最小值即可。

  状态转移方程为:
  技术分享图片
  其中有:
  技术分享图片
 
  上面第二类与第三类的代码复杂度都是O(n^3),n为石子堆数目,那么还有没有复杂度更低的方法呢?
  答案是:有。也是使用动态规划,由于过程满足平行四边形法则,优化后可以将复杂度降为O(n^2)。

 




































以上是关于石子合并的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

石子合并问题

282. 石子合并

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合并石子大总结

P5569 SDOI2008 石子合并(黑科技)