[数据结构] 树，二叉树，二叉搜索树

Posted 2020-10-22 Oran‘s

　　与队列和堆栈一样，树也是人为构造的一种数据存储逻辑。

　　首先我们来看一下树的课本定义。

　　树(Tree)，是元素的集合。

　　假设我们有这样一组数据，{ 6，3，5，1，8，7，9 }，我们使用树的形式来存放他们，得到了这样一棵树。

　　（在一棵有实际意义的树中，节点之间其实是有一定关联的。我们在这里仅仅将数据随意存放，来展示一下树的概念。）

图-一棵仅用作示例，没有什么实际意义和用途的树

　　树有多个节点(node)，用来存储元素。图中的每个数字所在的圆形就是一个节点。

　　每个节点之间用一根线相连，这些线，称为边(edge)。在一条边连接的两个节点中，靠近上层的节点称为父节点(parent)，处在下层的节点称为子节点(children)。而处在最顶层，没有父节点的节点被称为根节点(root)；没有子节点的节点称为叶节点(leaf)。同一个父节点下的同一层级的子节点相互称为兄弟节点(sibling)。很显然，这个图中的“6”就是根节点，也是“3”“5”的父节点。“5”是一个叶节点，也是“6”的子节点。“3”是“6”的子节点，但同时也是“1”“8”“7”的父节点。“1”“8”都是“3”的子节点，同时他们也是叶节点。“7”是“3”的子节点，是“9”的父节点。“9”是“7”的子节点，也是一个叶节点。“1”“8”“7”互为兄弟节点，“3”“5”互为兄弟节点。

　　树的层次被称为深度(depth)。可以看出上图中，“6”位于第一层，“3”和“5”位于第二层，“1”“8”“7”位于第三层，“9”位于第四层。这一棵树的深度是4。

　　然后我们再看一下树的课本定义：

　　1. 树是元素的集合。

　　2. 该集合可以为空。这时树中没有元素，我们称树为空树 (empty tree)。

　　3. 如果该集合不为空，那么该集合有一个根节点，以及0个或者多个子树。根节点与它的子树的根节点用一个边(edge)相连。

　　*这里的第三点使用了递归的思想来定义一棵树。　　

　　树的实现 

　　以C语言为例，当我们要实现一棵树的构造时，我们往往需要构造一种结构体来作为节点。但是一个父节点下的子节点个数是不同的，可能它有很多个子节点，也可能它只有一个子节点。如果我们在结构体中，定义了多个子节点指针的变量，会造成内存的浪费。于是我们有了以下这种经典的实现方式（依然以上文那棵只有展示意义的树为例）：

图-树的一种经典内存实现方式

　　在这种实现方式中，一个节点有两个指针，一个指向它的第一个子节点，一个指向它的下一个兄弟节点。这样，我们依然可以从根节点开始，遍历整棵树。

　　当然在实际操作中，为了方便，我们也可以让节点中增加一个指针去指向他的父节点。

　　 　　

　　树的应用

　　在了解了树的定义和构造之后，我们可以看看树的实际应用了。

　　表达式树

　　一个表达式，或者一个算式，都可以存成树的形式：

 

　　实际上你也可以感觉得出来，非常多的操作系统中，文件夹的目录是很类似树的结构的。

　　我们以某本书上的一个UNIX文件系统中的一个目录作为例子。

　　

图-一个UNIX文件系统的目录

　　我们可以看到，最原始的根节点是 /usr 。

　　如何打印出这个目录下所有的文件和路径呢？我们需要对这棵树进行遍历。

　　树的遍历

　　先序遍历：从根节点开始，对每一棵树进行遍历，每处理一棵树/子树的时候，先处理这棵树的根节点。

　　按照先序遍历，以一定格式可以把上图的目录打印出来：

　　

图-先序遍历打印出的目录

　　后序遍历：从根节点开始，处理完以这个节点为根节点的树/子树的所有子节点之后，再处理根节点。

　　按照后序遍历，把上图的目录以一定格式再次打印出来：

图-后序遍历打印出的目录