51nod1693 水群 最短路

Posted 2020-10-22 声声醉如兰

若A=K*B，若仅通过操作二：将B变换为A需要K步，

由算数基本定理可知：k=p1*p2*……pn（p为素数，且可能重复）

那么：将B转化为p1*B需要p1步，将p1*B转化为p1*p2*B需要p2步，以此类推，将B转化为A需要（p1+p2+....pn）步

因为(p1*p2*p3...*pn) < (p1+p2+p3+...pn)，故而若仅通过操作二将B转化为A至少需要（p1+p2+p3...+pn）步

因存在删除操作，我们将问题转化为图论：点i和点k*i之间存在单向边，点i和点i-1之间存在单项边。起始点为1，终点为n，求1到n的最短路。

我们知道：若仅通过操作二将1转化为较大的素数A，需要A步。但若通过操作三，我们可以先将1转化为（A+m），再通过（A+m）-A步操作，得到A。

例如：A=17，18=2*3*3，将1转化为18需要8步，再将18转化为17需要1步，共需要9步，远小于17。

因而我们可推断：较大的素数，可以通过操作三由较小的素数推出。

实际上，我们需要的素数仅为（2,3,5,7）

接下来，通过最短路算法，求解

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXSIZE 1000005
#define INF 999999999
#define LL long long
using namespace std;

int dist[MAXSIZE],p[5]={2,3,5,7};

void spfa()
{
    queue<int> Q;
    Q.push(1);
    for(int i=0;i<MAXSIZE;i++)
        dist[i] = INF;
    dist[1] = 0;
    while(!Q.empty())
    {
        int now = Q.front();
        Q.pop();
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            if(p[i]*now<MAXSIZE && dist[now*p[i]]>dist[now]+p[i])
            {
                dist[now*p[i]] = dist[now]+p[i];
                Q.push(now*p[i]);
            }

            if(now>1 && dist[now-1]>dist[now]+1)
            {
                dist[now-1] = dist[now]+1;
                Q.push(now-1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    spfa();
    int ans = dist[n];
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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