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前言
涉及到比例的相关运算，如果能引入比例因子，可能会使得计算变得很简单，主要原因是整式的运算相比分式的运算要简单且不容易出错。尤其是涉及到连比的形式，更是如此。
相关素材
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常用的勾股数：\\(3n，4n，5n(n\\in N^*)\\)；\\(5，12，13\\)；\\(7，24，25\\)；\\(8，15，17\\)；\\(9，40，41\\)；
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连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算，这样的运算可能在解三角形中，圆锥曲线的运算，等比数列的相关运算中。[1]
典例剖析
解析： 由于等差数列的前 \\(n\\) 项和公式为 \\(S_n=An^2+Bn=An(n+\\cfrac{B}{A})\\)，又由于 \\(\\cfrac{S_n}{T_n}=\\cfrac{2n+1}{3n+2}\\)，
[备注：说明 \\(S_n\\) 和 \\(T_n\\) 约去了相同的公因式，应该是关于 \\(n\\) 的一次式，不妨设为\\(kn\\)]
故可以设 \\(S_n=kn(2n+1)\\)，\\(T_n=kn(3n+2)\\)，
则 \\(\\cfrac{a_5}{b_3}=\\cfrac{S_5-S_4}{T_3-T_2}=\\cfrac{55k-36k}{33k-16k}=\\cfrac{19k}{17k}=\\cfrac{19}{17}\\).
【法1】：常规方法，方程组法，由已知条件可得到，\\(\\left\\{\\begin{array}{l}{\\cfrac{sin\\theta}{cos\\theta}=2}\\\\{sin^2\\theta+cos^2\\theta=1}\\end{array}\\right.\\)，
解得\\(\\left\\{\\begin{array}{l}{sin\\theta=-\\cfrac{2\\sqrt{5}}{5}}\\\\{cos\\theta=-\\cfrac{\\sqrt{5}}{5}}\\end{array}\\right.\\)，或\\(\\left\\{\\begin{array}{l}{sin\\theta=\\cfrac{2\\sqrt{5}}{5}}\\\\{cos\\theta=\\cfrac{\\sqrt{5}}{5}}\\end{array}\\right.(舍去)\\)，
故有\\(sin\\theta=-\\cfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\)；\\(cos\\theta=-\\cfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)；
【法2】：三角函数定义法，简单方法。由于\\(tan\\theta=2\\)，则角\\(\\theta\\)的终边在射线\\(y=2x\\{x<0\\}\\)上，
故在射线\\(y=2x\\{x<0\\}\\)上取点\\((-1，-2)\\)，则由三角函数的定义可知，\\(x=-1\\)，\\(y=-2\\)，\\(r=\\sqrt{5}\\)，
则\\(sin\\theta=\\cfrac{y}{r}=\\cfrac{-2}{\\sqrt{5}}=-\\cfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\)；\\(cos\\theta=\\cfrac{x}{r}=\\cfrac{-1}{\\sqrt{5}}=-\\cfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)；
【法3】：引入比例因子法，由\\(tan\\theta=\\cfrac{sin\\theta}{cos\\theta}=2\\)，\\(\\theta\\)为第三象限的角，
可设\\(sin\\theta=2k\\)，\\(cos\\theta=k(k<0)\\)，
由于\\(sin^2\\theta+cos^2\\theta=1\\)，即\\(5k^2=1\\)，解得\\(k=-\\cfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)，
故有\\(sin\\theta=-\\cfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\)；\\(cos\\theta=-\\cfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)；
分析：令\\(2^x=3^y=5^z=k\\)，则\\(x=log_2k=\\cfrac{lgk}{lg2}\\)，\\(y=log_3k=\\cfrac{lgk}{lg3}\\)，\\(z=log_5k=\\cfrac{lgk}{lg5}\\)，
故\\(2x=\\cfrac{2lgk}{lg2}=\\cfrac{lgk}{\\cfrac{1}{2}lg2}=\\cfrac{lgk}{lg\\sqrt{2}}\\)，
\\(3y=\\cfrac{3lgk}{lg3}=\\cfrac{lgk}{\\cfrac{1}{3}lg3}=\\cfrac{lgk}{lg\\sqrt[3]{3}}\\)，
\\(5z=\\cfrac{5lgk}{lg5}=\\cfrac{lgk}{\\cfrac{1}{5}lg5}=\\cfrac{lgk}{lg\\sqrt[5]{5}}\\)，接下来，
法1：(单调性法)转化为只需要比较\\(\\sqrt[2]{2}\\)，\\(\\sqrt[3]{3}\\)，\\(\\sqrt[5]{5}\\)三者的大小即可。
先比较\\(\\sqrt[2]{2}\\)，\\(\\sqrt[3]{3}\\)，给两个式子同时6次方，
得到\\((\\sqrt[2]{2})^6=2^3=8\\)，\\((\\sqrt[3]{3})^6=3^2=9\\)，
故\\(\\sqrt[2]{2}<\\sqrt[3]{3}\\)，则\\(\\cfrac{lgk}{lg\\sqrt[2]{2}}>\\cfrac{lgk}{lg\\sqrt[3]{3}}\\)，
即得到\\(2x>3y\\)
再比较\\(\\sqrt[2]{2}\\)，\\(\\sqrt[5]{5}\\)，给两个式子同时10次方，
得到\\((\\sqrt[2]{2})^{10}=2^5=32\\)，\\((\\sqrt[5]{5})^{10}=5^2=25\\)，
故\\(\\sqrt[2]{2}>\\sqrt[5]{5}\\)，则\\(\\cfrac{lgk}{lg\\sqrt[2]{2}}<\\cfrac{lgk}{lg\\sqrt[3]{3}}\\)，
即得到\\(5z>2x\\)，综上得到\\(3y<2x<5z\\)
法2：(作差法)
\\(2x-3y=\\cfrac{2lgt}{lg2}-\\cfrac{3lgt}{lg3}=\\cfrac{lgt(2lg3-3lg3)}{lg2lg3}=\\cfrac{lgt(lg9-lg8)}{lg2lg3}>0\\)，故\\(2x>3y\\);
\\(2x-5z=\\cfrac{2lgt}{lg2}-\\cfrac{5lgt}{lg5}=\\cfrac{lgt(2lg5-5lg2)}{lg2lg5}=\\cfrac{lgt(lg25-lg32)}{lg2lg5}<0\\)，故\\(2x<5z\\);
综上有\\(3y<2x<5z\\)。
法3：(作商法)
\\(\\cfrac{2x}{3y}=\\cfrac{2}{3}\\cdot \\cfrac{lg3}{lg2}=\\cfrac{lg9}{lg8}=log_89>1\\)，故\\(2x>3y\\)；
\\(\\cfrac{5z}{2x}=\\cfrac{5}{2}\\cdot \\cfrac{lg2}{lg5}=\\cfrac{lg2^5}{lg5^2}=log_{25}32>1\\)，
故\\(5z>2x\\)；故\\(3y<2x<5z\\)。素材链接
分析：引入正数因子\\(k\\)，
令\\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\\)，
则由\\(2+log_2a=log_2(4a)=k\\)，
得到\\(4a=2^k\\)，即\\(a=\\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\\)；
由\\(3+log_3b=log_3(27b)=k\\)，
得到\\(27b=3^k\\)，即\\(b=\\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\\)；
由\\(log_6(a+b)=k\\)，
得到\\(a+b=6^k\\)；
则\\(\\cfrac{1}{a}+\\cfrac{1}{b}=\\cfrac{a+b}{ab}=\\cfrac{6^k}{2^{k-2}\\cdot 3^{k-3}}=\\cfrac{2^k\\cdot 3^k}{2^k\\cdot 2^{-2}\\cdot 3^k\\cdot 3^{-3}}\\)
\\(=\\cfrac{1}{2^{-2}\\cdot 3^{-3}}=2^2\\cdot 3^3=108\\)
分析：令\\(2^x=3^y=k\\)，则\\(x=log_2k=\\cfrac{1}{log_k2}\\)，\\(y=log_3k=\\cfrac{1}{log_k3}\\)，
故\\(\\cfrac{x}{y}=\\cfrac{\\frac{1}{log_k2}}{\\frac{1}{log_k3}}=\\cfrac{log_k3}{log_k2}=log_23=\\cfrac{lg3}{lg2}\\)。
分析：由题可知，\\((\\vec{a}-2\\vec{b})\\cdot (3\\vec{a}+\\vec{b})=0\\)，化简得到，\\(3\\vec{a}^2-5\\vec{a}\\cdot \\vec{b}-2\\vec{b}^2=0\\)①，
由\\(|\\vec{a}|=\\cfrac{1}{2}|\\vec{b}|\\)，可设\\(|\\vec{a}|=t(t>0)\\)，则\\(|\\vec{b}|=2t\\)，代入①式，
得到\\(-10t^2cos\\theta+5t^2=0\\)，得到\\(cos\\theta=\\cfrac{1}{2}\\)，则\\(sin\\theta=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)，故选\\(C\\).
法1分析：由\\(\\frac{AH}{HD}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}\\)，借助比例因子，则可设\\(S_{\\triangle AEH}=(\\sqrt{5}-1)k(k>0)\\)，\\(S_{\\triangle DEH}=2k\\)，
且有\\(S_{\\triangle AHB}=S_{\\triangle DHE}\\)，又由于正五边形的对称性可知，\\(S_{\\triangle ABE}=S_{\\triangle BCD}\\)，\\(S_{\\triangle BCD}=S_{\\triangle BDH}\\)，
则\\(S_{\\triangle ABE}=(\\sqrt{5}-1)k+2k=(\\sqrt{5}+1)k\\)，则\\(S_{阴影}=2k+2k+(\\sqrt{5}-1)k=(3+\\sqrt{5})k\\)，\\(S_{正}=2k+3\\cdot (\\sqrt{5}+1)k=(5+3\\sqrt{5})k\\)，
故所求概率为\\(P=\\cfrac{S_{阴影}}{S_{正}}=\\cfrac{(3+\\sqrt{5})k}{(5+3\\sqrt{5})k}=\\cfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)。
分析：令\\(\\cfrac{a}{cosA}=\\cfrac{b}{cosB}=\\cfrac{c}{cosC}=k\\)，
则有\\(cosA=\\cfrac{a}{k}\\)，\\(cosB=\\cfrac{b}{k}\\)，\\(cosC=\\cfrac{c}{k}\\)，
再结合\\(sinA=\\cfrac{a}{2R}\\)，\\(sinB=\\cfrac{b}{2R}\\)，\\(sinC=\\cfrac{c}{2R}\\)，
故有\\(tanA=tanB=tanC=\\cfrac{k}{2R}\\)，故\\(A=B=C=\\cfrac{\\pi}{3}\\)。
分析：引入比例因子，设\\(\\cfrac{S_6}{S_3}=\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{k}{2k}(k\\neq 0)\\)，则\\(S_6=k\\)，\\(S_3=2k\\)，
\\(S_6-S_3=-k\\)，由\\(S_3，S_6-S_3，S_9-S_6\\)成等比数列，可知\\(S_9-S_6=\\cfrac{k}{2}\\)
则\\(S_9=\\cfrac{3k}{2}\\)，故\\(\\cfrac{S_9}{S_6}=\\cfrac{\\cfrac{3k}{2}}{2k}=\\cfrac{3}{4}\\)。
分析：引入比例因子，设\\(\\cfrac{S_6}{S_3}=\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{k}{2k}(k\\neq 0)\\)，则\\(S_6=k\\)，\\(S_3=2k\\)，
\\(S_6-S_3=-k\\)，由\\(S_3，S_6-S_3，S_9-S_6\\)成等比数列，可知\\(S_9-S_6=\\cfrac{k}{2}\\)
则\\(S_9=\\cfrac{3k}{2}\\)，故\\(\\cfrac{S_9}{S_6}=\\cfrac{\\cfrac{3k}{2}}{2k}=\\cfrac{3}{4}\\)。
分析：由\\(e=\\cfrac{c}{a}=\\cfrac{5}{2}\\)，令\\(c=5k(k>0)\\)，则\\(a=2k\\)，\\(b=\\sqrt{21}k\\)，
不妨令双曲线的焦点在\\(x\\)轴，点\\(A\\)在其右支上，则由双曲线的定义可知，
\\(|F_1A|-|F_2A|=2a=4k\\)，又\\(|F_1A|=2|F_2A|\\)，
则\\(|F_2A|=4k\\)，\\(|F_1A|=8k\\)，又\\(|F_1F_2|=10k\\)，
利用余弦定理可知\\(cos\\angle AF_2F_1=\\cdots=\\cfrac{13}{20}\\)；
解析： 因为 \\(a\\)， \\(b\\)， \\(c\\) 均为正数, 设 \\(3^{a}=4^{b}=6^{c}=k\\)，则 \\(k>0\\)，到此，实现了变量集中；
所以 \\(a=\\log_{3}k\\)， \\(b=\\log_{4}k\\)， \\(c=\\log_{6}k\\)，
则 \\(\\cfrac{1}{a}=\\cfrac{\\lg3}{\\lg k}\\)， \\(\\cfrac{1}{b}=\\cfrac{\\lg4}{\\lg k}\\)， \\(\\cfrac{1}{c}=\\cfrac{\\lg6}{\\lg k}\\)，
由于 \\(\\cfrac{2}{c}\\)\\(=\\)\\(\\cfrac{2\\lg 6}{\\lg k}\\)\\(=\\)\\(\\cfrac{2\\lg3}{\\lg k}\\)\\(+\\)\\(\\cfrac{\\lg 4}{\\lg k}\\)\\(=\\)\\(\\cfrac{2}{a}\\)\\(+\\)\\(\\cfrac{1}{b}\\)，故选 \\(B\\) .
解析 ： 由于\\(\\log_{\\sqrt{2}}\\cfrac{1}{x}=\\log _{\\sqrt{3}}\\cfrac{1}{y}=\\log_{\\sqrt{6}}\\cfrac{1}{z}\\)， 化简： \\(\\log_{\\sqrt{2}}\\cfrac{1}{x}=-\\log_{\\sqrt{2}}x\\)，
故 \\(\\log _{\\sqrt{2}} x=\\log _{\\sqrt{3}} y=\\log _{\\sqrt{6}} z\\)，
令 \\(\\log _{\\sqrt{2}} x=\\log _{\\sqrt{3}} y=\\log _{\\sqrt{6}} z=k\\)，
由于 \\(x\\)， \\(y\\)， \\(z\\) 均大于 \\(1\\)， 所以 \\(k>0\\)，
所以有 \\(x=2^{\\frac{k}{2}}\\)， \\(y=3^{\\frac{k}{2}}\\)， \\(z=6^{\\frac{k}{2}}\\)，到此，实现了变量集中；
所以 \\(a=x^{\\frac{1}{2}}=2^{\\frac{k}{4}}\\)， \\(b=y^{\\frac{1}{3}}=3^{\\frac{k}{6}}\\)， \\(c=z^{\\frac{1}{6}}=6^{\\frac{k}{12}}\\)，
可得\\(a\\)， \\(b\\)， \\(c\\) 均大于 \\(1\\)，
所以 \\(a^{12}=8^{k}\\)， \\(b^{12}=9^{k}\\)， \\(c^{12}=6^{k}\\)，
即 \\(9^{k}>8^{k}>6^{k}\\)，即\\(b^{12}>a^{12}>c^{12}\\)，
所以 \\(b>a>c\\)， 故选 \\(D\\) .
分析：由于 \\(h_{a}\\) \\(:\\) \\(h_{b}\\) \\(:\\) \\(h_{c}\\)=\\(3\\) \\(:\\) \\(4\\) \\(:\\) \\(6\\)，
则 \\(h_a=3k\\) ， \\(h_b=4k\\) ， \\(h_c=6k\\) ，\\(k>0\\)，
由于\\(S=\\cfrac{1}{2}a\\cdot h_a=\\cfrac{1}{2}b\\cdot h_b=\\cfrac{1}{2}c\\cdot h_c\\)
则 \\(a:b:c=\\cfrac{2S}{h_a}:\\cfrac{2S}{h_b}:\\cfrac{2S}{h_c}\\) [给每一项都除以 \\(2S\\) ]
\\(=\\cfrac{1}{h_a}:\\cfrac{1}{h_b}:\\cfrac{1}{h_c}\\)
\\(=\\cfrac{1}{3k}:\\cfrac{1}{4k}:\\cfrac{1}{6k}\\) [给每一项都乘以 \\(k\\)，再同乘以 \\(12\\) ]
\\(=4:3:2\\)， 即 \\(a:b:c=4:3:2\\)，
又由于 \\(a=4\\)，故 \\(b=3\\)，\\(c=2\\)，将其代入\\(S=\\sqrt{\\cfrac{1}{4}[a^{2}\\times b^{2}-(\\cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}\\)，
计算得到，\\(S=\\sqrt{\\cfrac{1}{4}[4^{2}\\times 3^{2}-(\\cfrac{4^{2}+3^{2}-2^{2}}{2})^{2}]}=\\cfrac{3\\sqrt{15}}{4}\\)，故选 \\(D\\).
解析： 由于等差数列的前 \\(n\\) 项和公式为 \\(S_n=An^2+Bn=An(n+\\cfrac{B}{A})\\)，又由于 \\(\\cfrac{S_n}{T_n}=\\cfrac{2n+1}{3n+2}\\)，
[备注：说明 \\(S_n\\) 和 \\(T_n\\) 约去了相同的公因式，应该是关于 \\(n\\) 的一次式，不妨设为\\(kn\\)]
故可以设 \\(S_n=kn(2n+1)\\)，\\(T_n=kn(3n+2)\\)，
则 \\(\\cfrac{a_5}{b_3}=\\cfrac{S_5-S_4}{T_3-T_2}=\\cfrac{55k-36k}{33k-16k}=\\cfrac{19k}{17k}=\\cfrac{19}{17}\\).
如三角形的三边之比为\\(a\\) ：\\(b\\) ：\\(c\\)=\\(2\\) ：\\(3\\) ：\\(4\\)，则可以设\\(a=2k\\)，\\(b=3k\\)，\\(c=4k(k>0)\\)；如果求最大(小)角的余弦值，就可以直接代入余弦定理计算，同时\\(a\\)，\\(b\\)，\\(c\\)都是\\(k\\)的一元函数了。
同样的思路也可以用到圆锥曲线中，比如已知离心率\\(e=\\cfrac{c}{a}=\\sqrt{3}\\)，则可知\\(c=\\sqrt{3}t，a=t(t>0)\\) ，则有\\(b=\\sqrt{2}t\\)； ↩︎