POJ 1201 Intervals（差分约束 区间约束模版）

Posted 2020-10-22 Neord

关于差分约束详情可阅读：http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2015/11/19/212292.html

题意：

给定n个区间[L,R], 每个区间至少放w个球， 问最后整个区间最少要放多少个球。

分析：

假设d[i] 是 [1,i] 至少有多少个点被选中， 特殊地， d[0] = 0。 每个区间的描述可以转化为d[R] - d[L-1] >= w。（因为d[L]也要选中， 左闭右闭区间， 所以要减d[L-1]）
因为d[i]描述了一个求和函数，所以对于d[i]和d[i-1]其实是有自身限制的，考虑到每个点有选和不选两种状态，所以d[i]和d[i-1]需要满足以下不等式： 0 <= d[i] - d[i-1] <= 1 （即第i个数选还是不选）

这样， 我们就有了3个约束不等式

d[R] - d[L-1] >= w　　(1)

d[i] - d[i-1] >= 0　　    (2)

d[i-1] - d[i] >= -1     (3)

求出d[min-1]到d[max]的最长路， d[max] 就是这个区间最少要放多少个球。

#include<cstdio>
#include<string>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i < b; i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
const int maxn = 50000 + 7;
struct edge{
    int to , d;
    edge(int _to, int _d): to(_to), d(_d){}
};
vector<edge> G[maxn];
/*
差分约束系统
对于每个不等式 x[i] - x[j] >= a[k]，对结点 j 和 i 建立一条 j -> i的有向边，边权为a[k]，求x[n] - x[1] 的最大值就是求 1 到n的最长路。

假设d[i] 是 [1,i] 至少有多少个点被选中， 特殊地， d[0] = 0;
每个区间的描述可以转化为d[R] - d[L-1] >= w

因为d[i]描述了一个求和函数，所以对于d[i]和d[i-1]其实是有自身限制的，考虑到每个点有选和不选两种状态，
所以d[i]和d[i-1]需要满足以下不等式：  0 <= d[i] - d[i-1] <= 1   （即第i个数选还是不选）
*/

void add_edge(int u, int v, int d){
    G[u].push_back(edge(v, d));
}
int n, a, b;
bool vis[maxn];
int dis[maxn];
int spfa(int s){
    memset(vis,0, sizeof(vis));
    for(int i = a; i <= b; i++) dis[i] = -1e9;
    queue<int> q;
    vis[s] = 1;
    dis[s] = 0;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int u = q.front();
        for(int i = 0; i < G[u].size(); i++){
            int v = G[u][i].to, d = G[u][i].d;
            if(dis[u] + d > dis[v]){//求最长路
                dis[v] = dis[u] + d;
                if(!vis[v]){
                    vis[v] = 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        vis[u] = 0;
        q.pop();
    }
    return dis[b];
}
int main(){
//    freopen("1.txt","r", stdin);
    while(~scanf("%d", &n)){
        a = 1e9 + 7, b = -1e9 + 7; //求这个区间的最小值， 最大值
        rep(i,0,maxn) G[i].clear();
        rep(i,0,n){
            int L, R, w;
            scanf("%d %d %d", &L, &R, &w);
            a = min(a, L), b = max(b, R);
            add_edge(L-1,R,w);//对结点 j 和 i 建立一条 j -> i的有向边，边权为a[k]
        }
        _rep(i,a,b){
            add_edge(i-1,i,0);          //d[i] - d[i-1] >= 0
            add_edge(i,i-1,-1);          //d[i] - d[i-1] <= 1 不等式标准化成 d[i-1] - d[i] >= -1
        }
        puts("");
        printf("%d\n",spfa(a-1));
    }
}