二分图匹配及其相关问题

Posted 2020-10-21 难得~翛宁

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图   

二分图将图分成两个点集，而使用匈牙利算法的前提是问题中存在这样的两个点集。

 

匈牙利算法：

　　匈牙利算法(Hungarian method)是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是二部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

 

增广路（也称增广轨或交错轨）：

　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

 

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

 

　　（1）P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

　　（2）将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配。

　　（3）M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

 

算法轮廓：

 

　　（1）置M为空。

　　（2）找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配代替M。

　　（3）重复（2）操作直到找不出增广路径为止。

 

复杂度：

　　时间复杂度邻接矩阵：最坏为邻接表：

　　空间复杂度 邻接矩阵：邻接表：

　　完美匹配： 如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。 

　　最小覆盖： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数

　　最小路径覆盖：
　　　　用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i‘,如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j‘，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。

　　最大独立集问题：
　　　　在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．
如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．最大独立集点数 = N - 最大匹配数

　　二分图最大匹配问题的匈牙利算法：

　　　　分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流（我在此假设读者已有网络流的知识）；第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。
　　　　　　　　　　　　　　最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：

 1 #define N 202
 2 int useif[N];   //记录y中节点是否使用 0表示没有访问过，1为访问过
 3 int link[N];   //记录当前与y节点相连的x的节点
 4 int mat[N][N]; //记录连接x和y的边，如果i和j之间有边则为1，否则为0
 5 int gn,gm;    //二分图中x和y中点的数目
 6 int can(int t)
 7 {
 8     int i;
 9     for(i=1;i<=gm;i++)
10     {
11        if(useif[i]==0 && mat[t][i])
12        {
13            useif[i]=1;
14            if(link[i]==-1 || can(link[i]))
15            {
16               link[i]=t;
17               return 1;
18            }
19        }
20     }
21     return 0;
22 }
23 int MaxMatch()
24 {
25     int i,num;
26     num=0;
27     memset(link,0xff,sizeof(link));
28     for(i=1;i<=gn;i++)
29     {
30       memset(useif,0,sizeof(useif));
31        if(can(i)) num++;
32     }
33     return num;
34 }