七、(本题10分) 设 $U,V,W$ 均为数域 $K$ 上的非零线性空间, $\varphi:V\to U$ 和 $\psi:U\to W$ 是线性映射, 满足 $r(\psi\varphi)=r(\varphi)$. 证明: 存在线性映射 $\xi:W\to U$, 使得 $\xi\psi\varphi=\varphi$.
证法一 (几何方法1) 设 $r(\psi\varphi)=r(\varphi)=r$, 先取 $\mathrm{Ker}\varphi$ 的一组基 $\{e_{r+1},\cdots,e_n\}$, 并扩张为 $V$ 的一组基 $\{e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}$, 由白皮书的例 4.20 的证明可知, $\{\varphi(e_1),\cdots,\varphi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\varphi$ 的一组基, 并且 $\mathrm{Im}\psi\varphi=L(\psi\varphi(e_1),\cdots,\psi\varphi(e_r))$. 因为 $\dim\mathrm{Im}\psi\varphi=r$, 故 $\{\psi\varphi(e_1),\cdots,\psi\varphi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\psi\varphi$ 的一组基, 将其扩张为 $W$ 的一组基 $\{\psi\varphi(e_1),\cdots,\psi\varphi(e_r),f_{r+1},\cdots,f_p\}$. 定义线性映射 $\xi:W\to U$ (由线性扩张定理, 只要在基上给出 $\xi$ 的定义即可线性扩张到整个空间 $W$ 上) 为: $\xi(\psi\varphi(e_i))=\varphi(e_i)\,(1\leq i\leq r)$, $\xi(f_j)=0\,(r+1\leq j\leq p)$. 容易验证线性映射 $\xi\psi\varphi$ 与 $\varphi$ 在 $V$ 的一组基 $\{e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}$ 上的取值都相等, 从而由线性扩张定理可知 $\xi\psi\varphi=\varphi$.
证法二 (几何方法二) 考虑 $\psi$ 在 $\mathrm{Im}\varphi$ 上的限制诱导的线性映射: $\psi_1:\mathrm{Im}\varphi\to\mathrm{Im}\psi\varphi$, 这显然是一个满射. 由于$r(\psi\varphi)=r(\varphi)$, 即 $\dim\mathrm{Im}\varphi=\dim\mathrm{Im}\psi\varphi$, 因此由线性映射的维数公式可知, $\psi_1$ 也是单射, 从而 $\psi_1:\mathrm{Im}\varphi\to\mathrm{Im}\psi\varphi$ 是线性同构 (也可以先证明 $\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Ker}\psi\varphi$, 然后直接验证 $\mathrm{Ker}\psi_1=0$). 取 $\mathrm{Im}\psi\varphi$ 在 $W$ 中的补空间 $W_1$, 即 $W=\mathrm{Im}\psi\varphi\oplus W_1$, 定义线性映射 $\xi:W\to U$ (由教材的习题 4.1.3 或白皮书的例 4.2 可知, 只要在 $W$ 的直和分量上分别给出 $\xi$ 的定义即可) 为: $\xi|_{\mathrm{Im}\psi\varphi}=\psi_1^{-1}$, $\xi|_{W_1}=0$. 因此, $\xi\psi|_{\mathrm{Im}\varphi}=\xi\psi_1=\mathrm{Id}_{\mathrm{Im}\varphi}$, 即对任意的 $v\in V$, $\xi\psi\varphi(v)=\varphi(v)$, 结论得证.
证法三 (代数方法一) 将问题转化为代数的语言: 设 $A\in M_{m\times n}(K)$, $B\in M_{p\times m}(K)$ 满足 $r(BA)=r(A)$, 证明: 存在 $C\in M_{m\times p}(K)$, 使得 $CBA=A$. 设线性方程组 $Ax=0$ 的解空间为 $V_A$, $BAx=0$ 的解空间为 $V_{BA}$, 则显然有 $V_A\subseteq V_{BA}$, 再由 $r(A)=r(BA)$ 可知 $V_A=V_{BA}$, 即上述两个线性方程组同解. 由此不难验证线性方程组 $\begin{pmatrix} BA\\ A\\ \end{pmatrix}x=0$ 与 $BAx=0$ 同解, 从而有 $r\begin{pmatrix} BA\\ A\\ \end{pmatrix}=r(BA)$. 于是由白皮书的例 3.19 可知, $BA$ 的行向量的极大无关组也是$\begin{pmatrix} BA\\ A\\ \end{pmatrix}$ 的行向量的极大无关组, 从而 $A$ 的行向量可以表示为 $BA$ 的行向量的线性组合. 因此, 若将 $A,BA$ 写成行分块的形式, 便知存在 $C\in M_{m\times p}(K)$, 使得 $A=CBA$.
证法四 (代数方法二) 采用证法三的代数语言, 进一步将每个矩阵都转置一下, 等价地只要证明: 若 $r(AB)=r(A)$, 则存在矩阵 $C$, 使得 $ABC=A$. 考虑线性方程组 $ABX=A$, 其中 $X$ 为矩阵未定元, 我们有 $r(AB)\leq r(AB\mid A)=r(A(B\mid I_n))\leq r(A)$, 从而 $r(AB\mid A)=r(A)=r(AB)$, 即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩, 于是由线性方程组的判定定理 (矩阵未定元版本) 可知, 线性方程组 $ABX=A$ 有解 $X=C$.
证法五 (代数方法三) 采用证法三的代数语言, 进一步由教材的习题 4.3.12 或白皮书的例 4.19 可知, 只要适当地选取 $V,U$ 的一组基, 可不妨设 $A=\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$ 为相抵标准型. 将 $B$ 进行对应的分块 $B=(B_1,B_2)$, 其中 $B_1\in M_{p\times r}(K)$, $B_2\in M_{p\times (m-r)}(K)$, 则 $BA=(B_1,0)$, 从而 $r(B_1)=r(BA)=r$, 即 $B_1$ 是列满秩阵. 由教材的习题 3.6.11 或白皮书的例 3.86 可知, 存在 $r\times p$ 阶矩阵 $C_1$, 使得 $C_1B_1=I_r$. 令 $C=\begin{pmatrix} C_1\\ 0\\ \end{pmatrix}\in M_{m\times p}(K)$, 则 $$CBA=\begin{pmatrix} C_1\\ 0\\ \end{pmatrix}(B_1,B_2)\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_1B_1 & C_1B_2\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}=A,$$ 从而结论得证. $\Box$
注 (1) 几何方法一和几何方法二正好反映了构造线性映射的最基本的两种方法 (参考白皮书的例 4.1 和例 4.2); 代数方法一虽然表面上用的是代数语言, 但具体的证明却是解空间和秩的方法, 属于几何的内涵; 代数方法二直接利用线性方程组的求解理论; 代数方法三其实才是最代数的方法, 利用了列满秩矩阵一定存在左逆这一结论, 而这一证明手段的几何对应恰好是几何方法二.
(2) 把本题的结论和代数方法二的结论联合在一起, 给出了矩阵秩的不等式 $r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$ 中等号成立的充要条件.
(3) 本题与白皮书第四章的解答题 13 十分类似, 因此本次期末考试有44名同学做出了此题 (得分在8分及以上), 具体情况如下:
几何方法1：郭宇城、张菲诺、赵钰枫、乔嘉伟、李世欣、陈在远、况田缘、李子靖、郑书涵、熊子恺、刘星瑀、曾嘉翊、曹烁、崔镇涛、张雷、吴蕊竹、张逸凡
几何方法1+2：史书珣、张君格、王语姗、段蕴珊、高怡雯、王成文健
几何方法2：程梓兼、钟函廷、邹广晟、蔡羽桐、赵涵洋、王子聪、赵郅宸
代数方法1：刘宇其、戴逸翔、王煜琪、魏一鸣、詹远瞩、何宇翔、方博越、李鹏程、汤之韫、孙澍砾、成然
代数方法2：朱柏青、高诚
代数方法3：朱越峰