洛谷 1776 宝物筛选 多重背包+二进制拆分

Posted 2020-10-21 Driver_Lao

【题解】

　　显然是个多重背包。但直接写背包会超时。所以我们试着优化。

　　怎么优化？我们发现，每个物品的个数$ai$可以拆分成几个数的和，用这些数中的某几个之和可以表示出$1$到$ai$的所有整数，并且不会超过$ai$

　　这样我们可以把ai个相同的物品拆分成若干个互相独立的物品，然后跑01背包。

　　那么如何对$ai$进行拆分？拆分出来的数就是相加起来不超过$ai$的2的$i$次幂以及$ai$减去2的$i$次幂之和的结果。

　　例如我们可以把19拆分成$1,2,4,8,3$

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int n,w,f[200010];
 5 inline int read(){
 6     int f=1,k=0; char c=getchar();
 7     while(c<\'0\'||c>\'9\')c==\'-\'&&(f=-1),c=getchar();
 8     while(\'0\'<=c&&c<=\'9\')k=k*10+c-\'0\',c=getchar();
 9     return k*f;
10 }
11 int main(){
12     n=read(); w=read();
13     while(n--){
14         int vi=read(),wi=read(),ai=read(),i;
15         for(i=0;((1<<(i+1))-1)<=ai;i++){
16             for(int j=w;j>=(wi<<i);j--)
17             f[j]=max(f[j-(wi<<i)]+(vi<<i),f[j]);
18         }
19         int tmp=ai-(1<<i)+1;
20         vi=vi*tmp; wi=wi*tmp;
21         for(int j=w;j>=wi;j--) f[j]=max(f[j-wi]+vi,f[j]);
22     }
23     printf("%d\\n",f[w]);
24     return 0;
25 }

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