加法器

Posted 2020-10-21 哦摩西罗伊

 

计算机里的加减乘除四则运算，最基本的就是加法运算，其余三种运算都可以通过加法运算来实现。

 

I. 半加器 (Half Adder)

考虑一位二进制加法运算，如果不考虑进位的话，我们可以得到如下真值表：

A，B表示输入，C（Carry）表示进位，S（Sum）表示结果。

可以得到：

 

用逻辑门来实现：

II. 全加器 (Full Adder)

有了半加器以后我们发现，这种加法器并不能实现多位数的加法，因此诞生了有进位的全加器。和半加器不一样，一个全加器有三个输入（A，B和低位进位）和两个输出（和以及进位输出）。

列出真值表：

 

 可以得到：

 

 逻辑门实现：

III. 纹波进位加法器 (Ripple Carry Adder)

将n个全加器级联起来，就是一个n位的加法器，这就是逐级进位加法器。

考虑到门电路中的电场状态改变需要时间，如果输入电平发生了变化，那么输出电平需要一段时间后才会响应，当然这段时间很小，小到了纳秒级别。因此，这种加法器有个缺点：每一位的进位输入依赖于上一位的进位输出，只有前一位的进位信号稳定后，这一位的全加器的运算才是有意义的。如果位数n很大的话，整个加法器会变慢，最后会限制CPU主频的提高。

IV. 超前进位加法器 (Carry-lookahead Adder)

既然级联一位的加法器算有这样的缺点，那就干脆直接设计一个位数足够大的加法器！

我们列出2位的全加器的真值表：

 

我们看到，随着n增大，真值表的行数是指数级别增长的。即使位数仅仅只有2，真值表的行数都达到了32，人工求解布尔表达式变得很困难。但是理论上，这样的全加器的确存在，而且实际上，有一个更优雅的设计方法。

再次考虑上面讲到的全加器，不再以级联的方式获得进位输入，而是直接根据输入，设计电路得到合适的进位，这样设计出来的加法器叫做超前进位加法器。

 

 

其中，每一级的进位可以由当前的两个位产生(generate)，；或者由上一级传递(propagate)的进位  和当前输入累加导致的，，因此下一级的进位是。

因此，得到关于2位超前进位加法器的布尔表达式：

 

 

 

考虑到集成电路的面积，成本，功耗，散热等因素，超前进位加法器的位数一般不会过大。一般将几个超前进位加法器(如8位，16位)级联起来，得到位数够宽的加法器。

 

 

链接：https://www.zhihu.com/question/29707696/answer/114610705
来源：知乎