常见的证明或使用L‘Hosptial法则或使用Cauchy中值定理，利用Carathéodory导数公式，我们能更自然、更直接地证明Taylor定理.由以下证明可以看出，Carathéodory导数公式中\(\phi(x)\)在\(a\)点处的连续性极其关键.
带Peano余项的Taylor公式
若函数f在点\(x_0\)存在n阶导数\(f^{(n)}(x_0)\)，则有
\[f(x) = f(x_0) + f^{‘}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{‘‘}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^{n}) (x \to x_0).\]
证明
引入多项式
\[p_n(x_0) = f(x_0)+ f^{‘}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{‘‘}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]
和
\[r_n(x) = f(x) - p_n(x)\]
称\(p_n\)为\(f(x)\)在\(x_0\)处的n阶Taylor多项式，称\(r_n(x)\)为n阶余项，只要证明
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0\]
由于\(f(x)\)与\(p_n(x)\)在\(x_0\)处n阶可导，\(r_n(x)\)在\(x_0\)处n阶可导，即存在\(x_0\)处连续的函数\(\phi^{[i]} (i = 1,2,3 ... n)\)，且满足
\[
\phi^{[i]}(x) - \phi^{[i]}(x) = \phi^{[i+1]}(x_0) (x-x_0) (i = 1,2,3 ... n-1)\r_n(x) - r_n(x_0) = \phi^{[1]}(x) (x-x_0)
\]
注意到
\[
\phi^{[i]}(x_0) =0 (i = 1,2,3 ... n-1)\r_n(x_0) = 0
\]
则有
\[
\phi^{[i]}(x) = \phi^{[i+1]}(x) (x-x_0) (i = 1,2,3 ... n-1)\r_n(x)= \phi^{[1]}(x) (x-x_0)
\]
所以
\[
\begin{array}{ll}
r_n(x)&=r_n(x) - r_n(x_0)&= \phi^{[1]}(x) (x-x_0) \&= [ \phi^{[1]}(x) -\phi^{[1]}(x_0)] (x-x_0)&=\phi^{[2]}(x) (x-x_0)^2\&......\&=[\phi^{[n-1]}(x)-\phi^{[n-1]}(x_0)] (x-x_0)^{n-1} &= \phi^{[n]}(x)(x-x_0)^{n}
\end{array}
\]
上面已经指出\(\phi^{[n]}(x_0)=0\)，利用$ \phi^{[n]}(x)\(在\)x_0$处连续性，自然得出
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{r_n(x_0)}{(x-x_0)^n} = 0\]
注与参考
我认为此证明短小精悍，揭示了Taylor定理的实质，即Taylor定理是利用一个点的性质和函数在这个点的"高阶连续可导性"来还原函数的性质.
此证明的书写框架参考了（谢惠民等）数学分析习题课讲义.
关于Carathéodory导数公式，请参考Kuhn Stephen,The Derivative a la Caratheodory,American Mathematical Monthly vol 98.