可并堆——左偏树斜堆

Posted 2020-10-21 Halifuda

经典的二叉堆已经可以在O(logn)的复杂度的情况下维护堆这样的数据结构，也有d-堆可以维护成O(log_dn)（虽然pop操作的复杂度是dlog_dn），然而这两种堆不能满足logn的合并操作，它们的经常是O(nlogn)，即每次将一个堆中的堆顶拿出来放到另一个堆里。虽然有很多情况不经常合并，但有时候我们就是想要合并堆，还想频繁地合并，这时候二叉堆的性能就显得不是很好了。左偏树首先解决了合并问题。

左偏树像二叉堆一样是个二叉树，但是并不是完全二叉树。左偏树定义时用到了一个附加值：npl。npl[x]指节点x通向NULL的最短路径。一般NULL的npl为-1；若A只有一个子节点或者没有，那么npl[A]=0；否则，npl[A]=min{npl[left[A]],npl[right[A]]}+1。乍一看像是高度的定义。

左偏树的定义如下：对于左偏树T，要么只有一个节点，要么左右子树L、R满足：npl[L]≥npl[R]。

满足条件的左偏树有性质：对于树根T，总有：npl[T]=npl[right[T]]+1。对于T，若npl[T]=l，则整棵树的节点数不少于2^l-1。

性质1很好得出；性质二书上利用数学归纳法。不过简单讲就是左子树的npl大于等于l-1，一直取左子树npl=l-1，由性质1得右子树npl=l-1，可得左右子树全等，那么这就是一棵满二叉树，n=2^l-1，由于左子树总是可以多任意多节点，所以这样就可以得到性质二。性质二反过来讲相当于若T有n个节点，那么右路径的长度不超过logn（右路径为从根一直通向右子树直到NULL的路径）。左偏树满足这个性质后，总是把合并放到右路径上解决，这样保证了合并也是O(logn)的时间复杂度。

合并是这样的：合并两棵树时，令根键值小树的根为新根，再递归合并新根的右子树和另一棵树。回溯时若发现某一结点不满足左偏树的定义，即左子树的npl小于右子树的npl，那么交换左右子树，这样合并操作总能保持O(logn)。这样做之后，插入即合并一个节点和原树，删除堆顶即合并树根的两个子树作为新根。

代码：

#include<cstdio>
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define nil 0
#define MXN 100000+1
int val[MXN],left[MXN],right[MXN],npl[MXN],recycle[MXN];
int root,ntop,rtop=-1;
int newnode(int k){
    int nw;
    if(rtop==-1) nw=++ntop;
    else nw=recycle[rtop--];
    val[nw]=k;
    left[nw]=right[nw]=nil;
    npl[nw]=1;
    return nw;
}
void update(int now){
    npl[now]=min(npl[left[now]],npl[right[now]])+1;
    return;
}
void swap(int &a,int &b){
    int t=a;
    a=b,b=t;
    return;
}
int merge(int A,int B);
int merge1(int A,int B);
int merge(int A,int B){
    if(A==nil) return B;
    if(B==nil) return A;
    if(val[A]<val[B]) return merge1(A,B);
    else return merge1(B,A);
}
int merge1(int A,int B){
    if(left[A]==nil) left[A]=B;
    else{
        right[A]=merge(right[A],B);
        if(npl[left[A]]<npl[right[A]]) swap(left[A],right[A]);
        npl[A]=npl[right[A]]+1;
    }
    return A;
}
void insert(int k){
    int ins=newnode(k);
    if(root==nil) root=ins;
    else root=merge(root,ins);
    return;
}
int top(){
    return val[root];
}
void pop(){
    recycle[++rtop]=root;
    int y=merge(left[root],right[root]);
    root=y;
    return;
}
int main(){
    int p,x;
    while(1){
        scanf("%d",&p);
        if(p==0) break;
        if(p==1) printf("%d\n",top());
        if(p==2){
            scanf("%d",&x);
            insert(x);
        }
        if(p==3) pop();
    }
    return 0;
}

Leftist Heap

另外讲一下左偏树的变种：斜堆。斜堆只是把npl这个限制条件拿掉，每次合并不论情况总是交换左右子树，这样使得期望的复杂度是O(logn)。像Splay一样，斜堆是自调整式数据结构，不需要记录任何额外变量。但是斜堆存在的劣势是右路径有时可能变得较长，面对较大数据递归时可能超过深度。不过左偏树和斜堆都可以写出非递归的程序，所以这不是太大的问题。

注：虽然在堆里实现查找多数情况下不现实，但是有时候堆还是被要求具有更改某些节点键值的不合理操作。如果想要具有减小键值这一操作（暂时不管如何找到应该减小键值的节点），那么左偏树或者斜堆都要记录父亲指针，进行向上调整。不过这无法保证对数时间复杂度。这是更强大的可并堆出现的原因之一。