BZOJ2125: 最短路 圆方树（静态仙人掌）

Posted 2020-10-21 ONION_CYC

【题意】给定带边权仙人掌图，Q次询问两点间最短距离。n,m,Q<=10000

【算法】圆方树处理仙人掌问题

【题解】树上的两点间最短路问题，常用倍增求LCA解决，考虑扩展到仙人掌图。

先对仙人掌图建圆方树，圆圆边和原图边权一致。对于每个方点代表的环，记深度最小的点为x，则圆方边的边权是圆点到x的最短距离。

若lca(u,v)为圆点，则两点间最短路转化为圆方树上dis[u]+dis[v]-2*dis[lca]。（向上延伸的路径，经过环则必然经过每个方点的x，计算无误）

若lca(u,v)为方点，则记u,v在方点连接的圆点A,B的子树内，那么两点间最短路为dis[u]+dis[v]-dis[A]-dis[B]+dis(A,B)，dis(A,B)是A,B在环上的短侧路径。

复杂度O(Q log n)。

实现细节：

1.Tarjan：建圆方树（先处理树边，最后在深度最小处处理环）

2.处理方点：s[i]表示点i从所在环点x（深度最小）开始逆时针的距离，最终s[x]记为s[N]后s[x]=0。另外注意要记录一下环中点的编号顺序。

3.LCA：圆点直接计算，方点中dis(A,B)=min{ s[A]+s[w]-s[B] , s[B]-s[A] }（A在B的顺时针方向，否则交换AB）。

4.注意防止访问父亲的边是i^1，初始tot=1。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=20010;
int N,fa[maxn],b[maxn],f[maxn][20],dfn[maxn],low[maxn],dfsnum=0,deep[maxn],A,B,n,m,id[maxn];
ll s[maxn],dis[maxn];
struct tu{
    int first[maxn],tot;
    struct edge{int v,w,from;}e[maxn*2];
    void insert(int u,int v,int w){
        tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;
        tot++;e[tot].v=u;e[tot].w=w;e[tot].from=first[v];first[v]=tot;
    }
}G;
int first[maxn],tot;
struct edge{int v,w,from;}e[maxn*2];
void insert(int u,int v,int w){
    tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;
    tot++;e[tot].v=u;e[tot].w=w;e[tot].from=first[v];first[v]=tot;
}
void solve(int u,int v,int w){
    N++;
    int pre=w,ID=0;
    for(int i=v;i!=fa[u];i=fa[i]){
        s[i]=pre;
        pre+=b[i];
        id[i]=ID++;
    }
    s[N]=s[u];s[u]=0;
    for(int i=v;i!=fa[u];i=fa[i])insert(N,i,min(s[i],s[N]-s[i]));
}
void tarjan(int x,int father){
    dfn[x]=low[x]=++dfsnum;
    for(int i=G.first[x];i;i=G.e[i].from)if(i!=father){
        int y=G.e[i].v;
        if(!dfn[y]){
            fa[y]=x;b[y]=G.e[i].w;
            tarjan(G.e[i].v,i^1);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        }else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
        if(low[y]>dfn[x])insert(x,y,G.e[i].w);
    }
    for(int i=G.first[x];i;i=G.e[i].from){
        int y=G.e[i].v;
        if(fa[y]!=x&&dfn[y]>dfn[x])solve(x,y,G.e[i].w);
    }
}
void dfs(int x,int father){
    for(int j=1;(1<<j)<=deep[x];j++)f[x][j]=f[f[x][j-1]][j-1];
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(i!=father){
        f[e[i].v][0]=x;
        deep[e[i].v]=deep[x]+1;
        dis[e[i].v]=dis[x]+e[i].w;
        dfs(e[i].v,i^1);
    }
}
int lca(int x,int y){
    if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
    int d=deep[x]-deep[y];
    for(int i=0;(1<<i)<=d;i++)if(d&(1<<i))x=f[x][i];
    if(x==y)return x;
    for(int i=20;i>=0;i--)if((1<<i)<=deep[x]&&f[x][i]!=f[y][i]){
        x=f[x][i];y=f[y][i];
    }
    A=x;B=y;
    return f[x][0];
}

int main(){
    int Q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
    int u,v,w;
    G.tot=1;tot=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        G.insert(u,v,w);
    }
    N=n;tarjan(1,0);dfs(1,0);
    while(Q--){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        w=lca(u,v);
        if(w<=n)printf("%lld\n",dis[u]+dis[v]-2*dis[w]);
        else{
            ll ans=dis[u]+dis[v]-dis[A]-dis[B];
            if(id[A]<id[B])ans+=min(s[A]+s[w]-s[B],s[B]-s[A]);
                else ans+=min(s[B]+s[w]-s[A],s[A]-s[B]);
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

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