\\[\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{m}[\\sigma(\\gcd(i,j))\\le{a}]\\sigma(\\gcd(i,j))
\\]
多组数据，\\(n,m\\le10^5\\)
sol
首先\\(\\sigma(i)\\)是个积性函数，在积性函数与线性筛中提到了筛的方法，可供参考。
多组数据不好处理，但好在可以离线。把所有询问按照\\(a\\)排序，再把1-N所有数按照\\(\\sigma(i)\\)排序，再依次加入。
为了动态维护前缀和就需要写树状数组。
考虑到每个数只会被加入一次，被加入在\\(\\lfloor\\frac Ni\\rfloor\\)个位置，所以加入的复杂度是\\(O(\\sum_{i=1}^{n}\\lfloor \\frac ni\\rfloor*\\log_2{n})\\)
查询依然是数论分块，复杂度是\\(O(n\\sqrt{n}\\log_{2}n)\\)
tips:取模自然溢出即可
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100005;
int gi()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<\'0\'||ch>\'9\')&&ch!=\'-\') ch=getchar();
if (ch==\'-\') w=0,ch=getchar();
while (ch>=\'0\'&&ch<=\'9\') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-\'0\',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
struct query{
int n,m,a,id;
bool operator < (const query &zsy) const
{return a<zsy.a;}
}q[N];
int T,maxN,pri[N],tot,zhi[N],mu[N],low[N],sum[N],sigma[N],id[N],c[N],ans[N];
void Mobius()
{
zhi[1]=mu[1]=low[1]=sum[1]=sigma[1]=1;
for (int i=2;i<=maxN;i++)
{
if (!zhi[i])
{
low[i]=pri[++tot]=i;
mu[i]=-1;sum[i]=sigma[i]=i+1;
}
for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=maxN;j++)
{
zhi[i*pri[j]]=1;
if (i%pri[j]==0)
{
low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];
sum[i*pri[j]]=sum[i]+low[i*pri[j]];
sigma[i*pri[j]]=sigma[i]/sum[i]*sum[i*pri[j]];
break;
}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
low[i*pri[j]]=pri[j];
sum[i*pri[j]]=pri[j]+1;
sigma[i*pri[j]]=sigma[i]*sigma[pri[j]];
}
}
}
void Modify(int k,int val){for (;k<=maxN;k+=k&-k) c[k]+=val;}
int Query(int k){int res=0;for (;k;k-=k&-k) res+=c[k];return res;}
bool cmp(int x,int y){return sigma[x]<sigma[y];}
int calc(int n,int m)
{
int i=1,j,pre=0,cur,res=0;
while (i<=n)
{
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
cur=Query(j);
res+=(n/i)*(m/i)*(cur-pre);
i=j+1;pre=cur;
}
return res;
}
int main()
{
T=gi();
for (int i=1;i<=T;i++)
{
q[i]=(query){gi(),gi(),gi(),i};
if (q[i].n>q[i].m) swap(q[i].n,q[i].m);
maxN=max(maxN,q[i].n);
}
Mobius();
for (int i=1;i<=maxN;i++) id[i]=i;
sort(q+1,q+T+1);sort(id+1,id+maxN+1,cmp);
for (int i=1,p=1;i<=T;i++)
{
for (;p<=maxN&&sigma[id[p]]<=q[i].a;p++)
for (int j=id[p];j<=maxN;j+=id[p])
Modify(j,sigma[id[p]]*mu[j/id[p]]);
ans[q[i].id]=calc(q[i].n,q[i].m);
}
for (int i=1;i<=T;i++)
printf("%d\\n",ans[i]<0?ans[i]+2147483647+1:ans[i]);
return 0;
}