bzoj4361isn 容斥+bit优化dp

Posted 2020-10-21 wsy

4361: isn

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Description

给出一个长度为n的序列A(A1,A2...AN)。如果序列A不是非降的，你必须从中删去一个数，

这一操作，直到A非降为止。求有多少种不同的操作方案，答案模10^9+7。

 

 

Input

第一行一个整数n。

接下来一行n个整数，描述A。

 

Output

一行一个整数，描述答案。

 

Sample Input

4
1 7 5 3

Sample Output

18

HINT

 

1<=N<=2000

 

先找出长度为i的非降序列方案数,对于每个方案在原序列中删除其它元素可得答案
f[i][j]表示长度为i,以第j个元素结尾构成非降序列方案数
转移n^3 bit优化至n^2*log2(n)
g[i]表示长度为i的非降序列个数,可以对f[][]求和得到

接下来考虑每个方案,在原序列中删除一些数来得到答案

对于长度为i的非降序列,可以在原串中删去剩余的n-i个元素来得到
由于删除是有顺序的,所以删除方案是 (n-i)!
那么对于每个i,它贡献的答案就是g[i]*(n-i)!
但是,由于有些删除方法到长度i+1时就应该停止,所以 -(n-i-1)!*(i+1)*g[i+1] 不管i+1合法或者非法,到i肯定不合法,所以减去
*(i+1)是因为还要选择一个删去才得到长度i的序列
那么ans=sum(g[i]*(n-i)!-(n-i-1)!*(i+1)*g[i+1])

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #define ll long long
 6 #define mod 1000000007
 7 #define N 2005
 8 using namespace std;
 9 int a[N],b[N],fac[N],n;ll f[N][N],c[N],g[N];
10 void plu(ll &x,ll y){
11     x+=y;x>mod?x-=mod:1;
12 }
13 void update(int p,int val){
14     while(p<=n){
15         plu(c[p],val);
16         p+=p&-p;
17     }
18 }
19 ll sum(int p){
20     ll t=0;
21     while(p){
22         plu(t,c[p]);
23         p-=p&-p;
24     }
25     return t;
26 }
27 int main(){
28     scanf("%d",&n);
29     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];
30     sort(b+1,b+1+n);
31     int len=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
32     for(int i=1;i<=n;i++)
33     a[i]=lower_bound(b+1,b+1+len,a[i])-b;
34     for(int i=1;i<=n;i++)f[1][i]=1;
35     for(int i=2;i<=n;i++){
36         memset(c,0,sizeof(c));
37         for(int j=1;j<=n;j++){
38             plu(f[i][j],sum(a[j]));
39             update(a[j],f[i-1][j]);
40         }
41     }
42     for(int i=1;i<=n;i++)
43     for(int j=1;j<=n;j++)
44     plu(g[i],f[i][j]);
45     ll ans=0;
46     fac[0]=1;
47     for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%mod;
48     for(int i=n;i;i--)
49     ans=(ans+(g[i]*fac[n-i])%mod-((g[i+1]*(i+1))%mod*fac[n-i-1])%mod)%mod;
50     ans<0?ans+=mod:1;
51     cout<<ans;
52     return 0;
53 }