poj2154Color Polya定理+欧拉函数

Posted 2020-10-21 GXZlegend

题目描述

$T$ 组询问，用 $n$ 种颜色去染 $n$ 个点的环，旋转后相同视为同构。求不同构的环的个数模 $p$ 的结果。 $T\\le 3500,n\\le 10^9,p\\le 30000$ 。

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题解

Polya定理+欧拉函数

根据 poj2409 中得到的结论，答案为：

$\\frac{\\sum\\limits_{i=1}^nn^{\\gcd(i,n)}}n=\\sum\\limits_{i=1}^nn^{\\gcd(i,n)-1}$ 

由于 $n$ 有 $10^9$ 之大，因此考虑优化这个式子。

枚举 $\\gcd(i,n)$ ，则有：

$Ans=\\sum\\limits_{d|n}n^{d-1}\\sum\\limits_{j=1}^{\\frac nd}[\\gcd(j·d,n)==d]\\\\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ =\\sum\\limits_{d|n}n^{d-1}\\sum\\limits_{j=1}^{\\frac nd}[\\gcd(j,\\frac nd)==1]\\\\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ =\\sum\\limits_{d|n}n^{d-1}\\varphi(\\frac nd)\\\\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ =\\sum\\limits_{k|n}n^{\\frac nk-1}\\varphi(k)$

此时 $k$ 是 $n$ 的约数，总个数不会超过 $O(\\sqrt n)$ 个。但是直接枚举约数的话难以快速算出 $\\varphi$ 值。

考虑将 $n$ 分解质因数，设 $n=\\prod\\limits_{i=1}^mp_i^{a_i}$ ，那么我们dfs枚举 $k=\\prod\\limits_{i=1}^mp_i^{b_i}\\ (0\\le b_i\\le a_i)$ ，由于 $\\varphi$ 是积性函数，所以在枚举的过程中就可以顺便求出 $\\varphi$ 值 ，再与 $n^{\\frac nk-1}$ 作乘积累加到答案中即可。这样能够不重不漏地枚举到 $n$ 的所有约数并统计答案。

时间复杂度 $O(T\\sqrt n\\log n)$ ，由于这个根号是远远不满的，因此可以过。

#include <cstdio>
int a[40] , c[40] , tot , n , p , ans;
inline int pow(int x , int y)
{
	int ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = ans * x % p;
		x = x * x % p , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
void dfs(int x , int d , int v)
{
	if(x > tot)
	{
		ans = (ans + pow(n % p , n / d - 1) * (v % p)) % p;
		return;
	}
	int i;
	dfs(x + 1 , d , v);
	d *= a[x] , v *= a[x] - 1;
	for(i = 1 ; i <= c[x] ; i ++ , d *= a[x] , v *= a[x])
		dfs(x + 1 , d , v);
}
int main()
{
	int T , i , x;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		scanf("%d%d" , &n , &p);
		tot = 0 , x = n;
		for(i = 2 ; i * i <= x ; i ++ )
		{
			if(!(x % i))
			{
				a[++tot] = i , c[tot] = 0;
				while(!(x % i)) x /= i , c[tot] ++ ;
			}
		}
		if(x != 1) a[++tot] = x , c[tot] = 1;
		ans = 0 , dfs(1 , 1 , 1);
		printf("%d\\n" , ans);
	}
	return 0;
}