●UOJ 21 缩进优化

Posted 2020-10-21 *ZJ

题链：

http://uoj.ac/problem/21

题解：

。。。技巧题吧

先看看题目让求什么：

令$F(x)=\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor +a[i]$%$x)$

要求输出最小的F(x)。

首先不难看出，x的取值不会超过最大的a[i]+1，（因为之后的答案都和x==a[i]+1时的答案相同）

把式子化为如下形式：

$F(x)=\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor +(a[i]-\lfloor a[i]/x \rfloor x))$ 

$\quad\quad=\sum_{i=1}^{n}(a[i]-\lfloor a[i]/x \rfloor (1-x))$

$\quad\quad=sum-\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (1-x))$

$\quad\quad=sum+\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (x-1))$

现在即是要找出最大的$\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (x-1))$

然后我们令$t=\lfloor a[i]/x \rfloor$

（把a从小到大排序后）对于每一个枚举的x，

不难发现，随着a[i]的增大，t也是在单增，而且t的取值还是一段一段的。

即对于$a[i]∈ [\lambda x,(\lambda+1)x-1]  $，t的取值都是$\lambda$

所以我们可以用后缀和或者前缀和的方法对于每一个枚举的x，快速求出$\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (x-1))=\sum_{i=1}^{n}t (x-1)$

使得总复杂度为 O(NlogN)

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 1000050
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
int cnt[MAXN];
int main(){
	int n,maxa=0; long long ans=0,tmp,sum=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
		scanf("%d",&x),cnt[x]++,maxa=max(maxa,x),sum+=x;
	for(int i=maxa-1;i;i--) cnt[i]+=cnt[i+1];
	for(int x=1;tmp=0,x<=maxa;x++){
		for(int r=1;r*x<=maxa;r++)
			tmp+=cnt[r*x];
		tmp*=(x-1);
		if(tmp>ans) ans=tmp;
	}
	printf("%lld",sum-ans);
	return 0;
}