线段树

Posted 2020-07-06 codeg

1、概念：

      线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

2、基本操作：

（1）线段树的构造

让根节点表示区间[0,N-1]，即所有N个数所组成的一个区间，然后，把区间分成两半，分别由左右子树表示。不难证明，这样的线段树的节点数只有2N-1个，是O(N)级别的。

    

伪代码如下（递归过程）：

function 构造以v为根的子树

  if v所表示的区间内只有一个元素

     v区间的最小值就是这个元素, 构造过程结束 

  end if

  把v所属的区间一分为二，用w和x两个节点表示。

  标记v的左儿子是w，右儿子是x

  分别构造以w和以x为根的子树（递归） 

  v区间的最小值 <- min(w区间的最小值,x区间的最小值) 

end function

Node   *build(int   l ,  int r ) //建立二叉树
{
    Node   *root = new Node;
    root->left = l;
    root->right = r;     //设置结点区间
    root->leftchild = NULL;
    root->rightchild = NULL;

    if ( l +1< r )
    {
       int  mid = (r+l) >>1;
       root->leftchild = build ( l , mid ) ;
       root->rightchild = build ( mid  , r) ; 
    } 

    return    root; 
}

（2）线段树中的线段插入

增加一个cover的域来计算一条线段被覆盖的次数，因此在建立二叉树的时候应顺便把cover置0。

插入一条线段[c,d]：

void  Insert(int  c, int d , Node  *root )
{
       if(c<= root->left&&d>= root->right) 
           root-> cover++;
       else 
       {
           if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->leftchild  );
           if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->rightchild  );
       }
}

（3）线段树的线段删除

删除一条线段[c,d]:

void  Delete (int c , int  d , Node  *root )
{
       if(c<= root->left&&d>= root->right) 
           root-> cover= root-> cover-1;
       else 
       {
          if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->leftchild  );
          if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->rightchild );
       }
}

参考博客：http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326