BZOJ3944Sum(杜教筛)

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【BZOJ3944】Sum(杜教筛)

题面

\[\sum_{i=1}^n\mu(i)和\sum_{i=1}^n\phi(i)\]
范围:\(n<2^{31}\)
\[S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\]
随便找个函数\(g\)\(\mu\)做狄利克雷卷积
\[(g*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})\]
对这个玩意求前缀和
\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})\]
\(d\)给提出来
\[\sum_{d=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})\]
\[\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n/d}\mu(d)g(i)\]
\(g(d)\)提出去
\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)\]
把前面设的东西带回去
\[\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})\]
那么,我们发现,我们要求的是\(S(n)\)
\[g(1)S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})\]
\[=\sum_{d=1}^n(g*\mu)(d)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})\]
我们知道:
\[\sum_{i|n}\mu(i)=[n=1]\]
\(g(x)=1\)
前面一堆东西是什么呀?
\[(1*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(i)=[i=1]\]

所以,
\[S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})\]
后面的东西很显然可以数论分块
但是,我们不可能算完所有的东西
所以,线性筛预处理\(n^{\frac{2}{3}}\)项的前缀和
对于大于这个范围的值就做数论分块,然后递归处理


再看一下\(\phi\)怎么做
和前面一样,设出前缀和
\[S(n)=\sum_{i=1}^n\phi(i)\]
找个函数\(g\)来做卷积
\[(g*\phi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d})\]

求个前缀和
\[\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d})\]
\(g\)提出来
\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d})\]
\[=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\phi(i)\]
\[=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})\]
根刚才的式子没什么区别
\[S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})\]
\[S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})\]

我们又知道一个式子:
\[\sum_{d|i}\phi(d)=i\]
也就是:\[(1*\phi)(i)=i\]
所以
\[S(n)=\sum_{i=1}^ni-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})\]
\[S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})\]

和前面一样的,预处理\(n^\frac{2}{3}\)
然后递归算就可以了


如果紧紧把范围卡在\(n^\frac{2}{3}\)这题会\(TLE\)???
一定是我常数太丑
反正可以多筛点
于是就多筛点
然后就\(AC\)啦???

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 2500000
#define ll long long
inline ll read()
{
    ll x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
bool zs[MAX+10];
int pri[MAX+10],tot;
ll mu[MAX+10],phi[MAX+10];
map<ll,ll> mm,pp;
void pre()
{
    zs[1]=true;mu[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAX;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i],phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
            else{mu[i*pri[j]]=0;phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAX;++i)phi[i]+=phi[i-1];
    for(int i=1;i<=MAX;++i)mu[i]+=mu[i-1];
}
ll Mu(ll x)
{
    if(x<=MAX)return mu[x];
    if(mm[x])return mm[x];
    ll ret=0;
    ll i=2,j;
    while(i<=x)
    {
        j=x/(x/i);
        ret+=(j-i+1)*Mu(x/i);
        i=j+1;
    }
    return mm[x]=1-ret;
}
ll Phi(ll x)
{
    if(x<=MAX)return phi[x];
    if(pp[x])return pp[x];
    ll ret=0;
    ll i=2,j;
    while(i<=x)
    {
        j=x/(x/i);
        ret+=(j-i+1)*Phi(x/i);
        i=j+1;
    }
    return pp[x]=x*(x+1)/2-ret;
}
int main()
{
    pre();
    int T=read();
    while(T--)
    {
        ll n=read();
        printf("%lld %lld\n",Phi(n),Mu(n));
    }
    return 0;
}

以上是关于BZOJ3944Sum(杜教筛)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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●杜教筛入门(BZOJ 3944 Sum)

BZOJ3944/4805Sum/欧拉函数求和 杜教筛

3944: Sum[杜教筛]

3944: Sum(杜教筛)