codeforce Hello 2018 913G

Posted 2020-10-21 殇雪

题目大意：给你一个子串，其在2^k方的十进制表示中出现过（后100位），让我们求k（k<10^50）

原题链接

SOL ：

设a长度为n。 
可以尝试构造一个数b，使得a⋅10^m+b成为其后缀。

令  x= a⋅10^m+b，则x=2^k(mod 10^(n+m))

我们发现 2^(n+m)|x,且 not(5|x),

我们先枚举m ,令  X= a⋅10^m+b，y=a⋅10^m，我们发现y不总是满足上述性质，那么我们就对b做出约束：

  如果 NOT(2^(N+M)|y)  X=y+(2^(N+M)-y%2^(N+M)),

  如果 5|X  ，我们令 X=y+2^(M+N)

那么我们便把X构造出来了，那么我们就只有一个问题了，那就是怎么求K？

  2^K=X(mod 10^(n+m)),同除上2^(N+M),那么我们得到：

     2^(K-M-N)=X/(2^(N+M))(mod 5^（N+M))

这个柿子，我们对其取对数，简记R=X/(2^(N+M)) 得到：

   K-M-N=log2 R（mod 5^（N+M））（这一步牵扯到2个知识点:原根 和 离散对数 ）//先挂着dalao的博客吧，以后有空会补的。

那么我们的问题就是求log2 R

我们知道2 是 5 的原根，那么2 也是 5^i 的原根。（不失一般性，我们有 p 是姬（奇）质数，q为其原根，那么q也是 p^l 的原根。l是正整数 ）。

由于数量比较大，传统的baby_step_giant_step算法 过不了，怎么破？（传统算法点这里）

那么我们有一个比较厉害的柿子：

    设dy,i为模pi意义下的log（g）y，存在 j 满足 di+1=di+j*φ(pi),j∈[0,p)。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int len(LL x){int a=0; for (;x;a++,x/=10); return a;}
LL mul(LL x,LL y,LL mo){
    LL anw=0;
    for (;y>0;y>>=1,x=(x<<1)%mo) 
     if (y&1) (anw+=x)%=mo;
    return anw;
}
LL qsm(LL x,LL y,LL mo){
    LL anw=1;
    for (;y>0;y>>=1,x=mul(x,x,mo)) 
     if (y&1) anw=mul(anw,x,mo);
    return anw;
}
#define sight(c) (‘0‘<=c&&c<=‘9‘)
inline void read(int &x){
    static char c;
    for (c=getchar();!sight(c);c=getchar());
    for (x=0;sight(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
}
inline void read(LL &x){
    static char c;
    for (c=getchar();!sight(c);c=getchar());
    for (x=0;sight(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
}
void write(LL x){if (x<10) {putchar(‘0‘+x); return;} write(x/10); putchar(‘0‘+x%10);}
inline void writeln(LL x){ if (x<0) putchar(‘-‘),x*=-1; write(x); putchar(‘\n‘); }
LL n,l,x,T,tp,mo,y,t,k,p5;
int main () {
    read(T);
    while (T--) {
        read(k); n=len(k);
        tp=1;
        for (int m=0;;m++) {
            x=k; mo=1ll<<(n+m);
            if (x%mo) x+=mo-x%mo;
            if (!(x%5))x+=mo;
            if ((!(x%mo))&&x%5&&x-k<tp){
                y=x>>(n+m); t=0; p5=5;
                if (y%5==1) t=0; if (y%5==2) t=1;
                if (y%5==3) t=3; if (y%5==4) t=2;
                for (int i=1;i<n+m;i++){
                    while (qsm(2,t,p5*5)!=y%(p5*5)) t+=p5/5*4;
                    p5*=5;
                }
                writeln(t+n+m);
                break;
            }
            k*=10,tp*=10;
        }
    }
}