bzoj3930[CQOI2015]选数 容斥原理

Posted 2020-10-20 wsy

3930: [CQOI2015]选数

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Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

 

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

 

Output

输出一个整数，为所求方案数。

 

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 

 样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

 

容斥
可以注意到一个性质：任意选两个数，这两个数的gcd<=他们的差 易证
题目中给出的区间大小<=1e5 所以不管怎么选，只要不全部选相同的数，gcd都会<=1e5
设f[i]为所有数的gcd为k或k的倍数的方案，易算出f[i]
假设g[i]为gcd为所有数的gcd为k的方案，可以用f[]容斥得到g[]
因为首先保证了所有方案不能选择相同的数，所以最后特判一下能不能全部选择K这个数来贡献答案

顺便%%用反演的大佬

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 #define mod 1000000007
 4 #define N 100001
 5 using namespace std;
 6 int M,K,L,R,fg,f[N];
 7 int quick(int a,int b){
 8     int ret=1;
 9     while(b){
10         if(b&1)ret=1ll*ret*a%mod;
11         a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
12     }
13     return ret;
14 }
15 int main(){
16     scanf("%d%d%d%d",&M,&K,&L,&R);fg= K<=R&&K>=L;
17     for(int i=R-L+1;i>=1;--i){
18         int l=L/i-(L%i==0),r=R/i,t=r-l;
19         int sum=quick(t,M)-t;
20         sum<0?sum+=mod:1;f[i]=sum;
21         for(int j=i+i;j<=R-L+1;j+=i)
22         f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
23     }
24     f[K]=(f[K]+fg)%mod;f[K]<0?f[K]+=mod:1;
25     printf("%d",f[K]);
26     return 0;
27 }