汉诺塔通项公式推导

Posted 2020-07-05 砂糖橘子君

汉诺塔通项公式证明：

　　设三个塔分别为A、B、C。并设当A塔初始有n个盘子的时候，转移到C塔需要用T(n)步。

　　首先，有如下规律：

　　T(0) = 0 (当没有盘子的时候当然为0)

　　T(1) = 1 

　　T(2) = 3

　　T(3) = 7

　　.....

　　T(n) = T(n - 1) + 1 + T(n - 1) = 2* T(n - 1) + 1

　　为什么T(n) = 2 * T(n -1 )+ 1 呢？

　　很容易可以想到，当n = n - 1 的时候，

　　（1）从A塔将所有盘子移动到C塔需要的步数是 T(n - 1)。

　   （2）如果从A到C移动的步数是T(n - 1)，那么从A移动到B也需要T(n - 1)

　　那么当n = n 时：

　　（1）首先将A塔的全部盘子移动到B塔，需要T(n  -1 )步。

　　（2）将A塔的最后一个盘子移动到C塔，需要1步

　　（3）将B塔的全部盘子移动到C塔，需要T( n  - 1 )步。

　　最终结果需要 2* T(n  - 1)+ 1 步。

　　所以T(n) = 2 * T( n  - 1 ) + 1 

　　那么通项公式是什么呢？该怎么证明呢？

　　很简单~

　　令等式左右两端同时加1，有：

　　T(n) + 1 = 2 * (T(n - 1) + 1)

　　设T(n) + 1 = S(n)

　　那么：S(n) = 2 *S(n - 1)

　　并且当n = 1 的时候，S(1) = 1;

　　那么S(n) = 2 ^ n

　　所以：　　T(n) + 1 = S(n) = 2 ^ n

　　即 　　　　T(n) = 2 ^ n - 1

证毕。