[BZOJ4804]欧拉心算

Posted 2020-10-20 租酥雨

题面戳我
题意：求
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(\gcd(i,j))\]
多组数据，\(n\le10^7\)。

sol

SBT
单组数据\(O(\sqrt n)\)都是套路了，完整公式就不写了。
最后要线性筛出来的积性函数长成这样
\[h(T)=\sum_{d|T}\mu(\frac Td)\phi(d)\]
这个要怎么筛？我这种小菜鸡就只会大力分类讨论
我都快数不清我分了几种了
1、\(h(1)=1\)
2、\(h(p)=\mu(p)\phi(1)+\mu(1)\phi(p)=p-2\)
3、\(h(p^2)=\mu(p^2)\phi(1)+\mu(p)\phi(p)+\mu(1)\phi(p^2)=p^2-2p+1\)
4、\(h(p^k)=h(p^{k-1})*p\quad(k>2)\)
剩下的就线性筛了。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e7;
int gi()
{
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}
int pri[N+5],tot,zhi[N+5],low[N+5];
ll h[N+5];
void Mobius()
{
    zhi[1]=h[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++)
    {
        if (!zhi[i]) low[i]=pri[++tot]=i,h[i]=i-2;
        for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
        {
            zhi[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0)
            {
                low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];
                if (low[i]==i)
                    if (i==pri[j]) h[i*pri[j]]=h[i]*pri[j]+1;
                    else h[i*pri[j]]=h[i]*pri[j];
                else
                    h[i*pri[j]]=h[i/low[i]]*h[low[i]*pri[j]];
                break;
            }
            low[i*pri[j]]=pri[j];
            h[i*pri[j]]=h[i]*h[pri[j]];
        }
    }
    for (int i=2;i<=N;i++)
        h[i]+=h[i-1];
}
int main()
{
    Mobius();
    int T=gi();
    while (T--)
    {
        int n=gi(),i=1;
        ll ans=0;
        while (i<=n)
        {
            int j=n/(n/i);
            ans+=(h[j]-h[i-1])*(n/i)*(n/i);
            i=j+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}