P3381 模板最小费用最大流

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了P3381 模板最小费用最大流相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目描述

如题,给出一个网络图,以及其源点和汇点,每条边已知其最大流量和单位流量费用,求出其网络最大流和在最大流情况下的最小费用。

输入输出格式

输入格式:

第一行包含四个正整数N、M、S、T,分别表示点的个数、有向边的个数、源点序号、汇点序号。

接下来M行每行包含四个正整数ui、vi、wi、fi,表示第i条有向边从ui出发,到达vi,边权为wi(即该边最大流量为wi),单位流量的费用为fi。

输出格式:

一行,包含两个整数,依次为最大流量和在最大流量情况下的最小费用。

输入输出样例

输入样例#1: 
4 5 4 3
4 2 30 2
4 3 20 3
2 3 20 1
2 1 30 9
1 3 40 5
输出样例#1: 
50 280

说明

时空限制:1000ms,128M

(BYX:最后两个点改成了1200ms)

数据规模:

对于30%的数据:N<=10,M<=10

对于70%的数据:N<=1000,M<=1000

对于100%的数据:N<=5000,M<=50000

样例说明:

技术分享图片

如图,最优方案如下:

第一条流为4-->3,流量为20,费用为3*20=60。

第二条流为4-->2-->3,流量为20,费用为(2+1)*20=60。

第三条流为4-->2-->1-->3,流量为10,费用为(2+9+5)*10=160。

故最大流量为50,在此状况下最小费用为60+60+160=280。

故输出50 280。

 

Solution:  

  费用流的模板,关于费用流该怎么算,大家可以去看下别人的博客,我这里也稍微讲一下:

一、求费用流的方法有很多,一般有两条途径:

  第一种:先求出最大流,在保证最大流量不变的情况下,调整边的流量使得总费用减少,直到费用无法降低停止。显然,只要网络图中没有负圈(可以画图或想象一下),则当前的流就是最小费用流了。

  第二种:每次寻找一条S到T的增广路,这条增广路必须是所有增广路中费用最小的一条,然后不停迭代知道无法增广。显然,此时的流为最小费用流。

二、具体实现:

  由于上述的第二种方法是在不停增广,类似于求最大流算法,于是通常我们照此思路求最小费用流,即可转化为求S到T的最短路径问题。

  1、费用网络只是在原网络中附加了边的费用cost(e),那么建图时一切照常,只不过对于原有边<u,v>附加费用cost(e),而它的反向边附加费用-cost(e)。

  2、建图后,开始增广,注意到增广时只是累加边的费用而边的大小只要大于0就行了,但是因为边权有负值(反向边),所以选用SPFA求最短增广路。

  3、因为负边会降低求最短路的效率,所以在每次建立增流网路求得最短路径后,将网络的权值进行一次修正,式再建的增流网络不含负边(要保证最短路径不会因此改变)。修改方法如下:当流量为0,首次建增流网络求最短路时,因为无负边权,所以可以采用标号法。为了使后面建立增流网络时不会出现负边,于是将网络中有流(flow>0)的边权w修改为0。

  这样每次增流网络上求得最短路径后,新的边权 W"(u,v)=dis(u)-dis(v)+W(u,v)  (dis(u)和dis(v)为新图中x到y的最短路径时u和v的标号值)。首次求最短路时,若(u,v)是增流路径上的边,则由最短路算法必有dis(v)=dis(u)+W‘(u,v)=dis(u)+W(u,v)  将这个式子带入加黑式子有W"(u,v)=0。

  若(u,v)不是增流路径上的边,则dis(v)<=dis(u)+W(u,v)  再代入加黑式子,则W"(u,v)>=0。显然,首次修正w后,对于网络中的任意边w都大于等于0,并且有流量的边(增流路径上的边)的w一定等于0。之后的迭代时,若f(u,v)>0,增流网络建立(v,u)边,新的边权W‘(v,u)=-W(u,v)=0,所以不会出现负边了。那么每次迭代都用最开始的加黑的式子去修改边权w,显然对于每一条x到y的路径,它的路径长度都同样增加dis(x)-dis(y)。所以,x到y的最短路径就不会因为对w的修改而发生改变了。

这里有字

我这里用的是用双端队列优化过的SPFA的代码:

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 using namespace std;
 5 bool vis[5005];int dist[5005];
 6 int n,m,s,t,ans=0;
 7 int nedge=-1,p[100002],c[100002],cc[100002],nex[100002],head[5005];
 8 il int gi()
 9 {
10     int a=0;char x=getchar();bool f=0;
11     while((x<0||x>9)&&x!=-)x=getchar();
12     if(x==-)x=getchar(),f=1;
13     while(x>=0&&x<=9)a=a*10+x-48,x=getchar();
14     return f?-a:a;
15 }
16 il void addedge(int x,int y,int z,int zz){
17     p[++nedge]=y;c[nedge]=z;cc[nedge]=zz;nex[nedge]=head[x];head[x]=nedge;
18 }
19 il bool spfa(int s,int t){
20     memset(vis,0,sizeof vis);
21     for(int i=0;i<=n;i++)dist[i]=1e9;dist[t]=0;vis[t]=1;
22     deque<int>q;q.push_back(t);
23     while(!q.empty()){
24         int now=q.front();q.pop_front();
25         for(int k=head[now];k>-1;k=nex[k])if(c[k^1]&&dist[p[k]]>dist[now]-cc[k]){
26             dist[p[k]]=dist[now]-cc[k];
27             if(!vis[p[k]]){
28                 vis[p[k]]=1;
29                 if(!q.empty()&&dist[p[k]]<dist[q.front()])q.push_front(p[k]);else q.push_back(p[k]);
30             }
31         }
32         vis[now]=0;
33     }
34     return dist[s]<1e9;
35 }
36 il int dfs(int x,int low){
37     if(x==t){vis[t]=1;return low;}
38     int used=0,a;vis[x]=1;
39     for(int k=head[x];k>-1;k=nex[k])if(!vis[p[k]]&&c[k]&&dist[x]-cc[k]==dist[p[k]]){
40         a=dfs(p[k],min(c[k],low-used));
41         if(a)ans+=a*cc[k],c[k]-=a,c[k^1]+=a,used+=a;
42         if(used==low)break;
43     }
44     return used;
45 }
46 il int costflow(){
47     int flow=0;
48     while(spfa(s,t)){
49         vis[t]=1;
50         while(vis[t]){
51             memset(vis,0,sizeof vis);
52             flow+=dfs(s,1e9);
53         }
54     }
55     return flow;
56 }
57 int main()
58 {
59     memset(nex,-1,sizeof nex);memset(head,-1,sizeof head);
60     n=gi(),m=gi(),s=gi(),t=gi();
61     int x,y,z,zz;
62     for(int i=1;i<=m;i++){
63         x=gi(),y=gi(),z=gi(),zz=gi();
64         addedge(x,y,z,zz);addedge(y,x,0,-zz);
65     }
66     printf("%d ",costflow());printf("%d",ans);
67     return 0;
68 }

 

提供一种不会被普通SPFA卡极限数据或者zkw卡极限数据的代码(速度不是特别快,关键是稳):

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include <bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define debug printf("%d %s\n",__LINE__,__FUNCTION__)
 5 using namespace std;
 6 const int N=100005,inf=0x3f3f3f3f;
 7 int n,m,s,t,cnt=1,h[5005],dis[5005],ans,fee,flow;
 8 bool inq[5005],vis[5005];
 9 struct edge{
10 int to,net,w,c;
11 }e[N];
12 queue<int> q;
13 il int gi()
14 {
15     int a=0;char x=getchar();bool f=0;
16     while((x<0||x>9)&&x!=-)x=getchar();
17     if(x==-)x=getchar(),f=1;
18     while(x>=0&&x<=9)a=a*10+x-48,x=getchar();
19     return f?-a:a;
20 }
21 il void add(int u,int v,int w,int c)
22 {
23     e[++cnt].to=v,e[cnt].net=h[u],e[cnt].c=c,e[cnt].w=w,h[u]=cnt;
24     e[++cnt].to=u,e[cnt].net=h[v],e[cnt].c=-c,e[cnt].w=0,h[v]=cnt;
25 }
26 il bool bfs(int s,int t)
27 {
28     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
29     memset(inq,0,sizeof(inq));
30     int x;
31     dis[t]=0;
32     q.push(t);
33     inq[t]=1;
34     while(!q.empty())
35     {
36         x=q.front();
37         q.pop();
38         inq[x]=0;
39         for(int i=h[x];i;i=e[i].net)
40           if(e[i^1].w&&dis[e[i].to]>dis[x]-e[i].c)
41           {
42             dis[e[i].to]=dis[x]-e[i].c;
43             if(inq[e[i].to])continue;
44             inq[e[i].to]=1;
45             q.push(e[i].to);
46           }
47     }
48     return dis[s]<inf;
49 }
50 il int dfs(int u,int flow)
51 {
52     vis[u]=1;
53     if(u==t||flow==0)
54       return flow;
55     int used=0,w;
56     for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
57       if(!vis[e[i].to]&&e[i].w&&dis[e[i].to]==dis[u]-e[i].c)
58       {
59         w=dfs(e[i].to,min(e[i].w,flow-used));
60         e[i].w-=w;
61         e[i^1].w+=w;
62         used+=w;
63         if(used==flow)return used;
64       }
65     return used;
66 }
67 int main()
68 {
69     n=gi(),m=gi(),s=gi(),t=gi();
70     int u,v,w,c;
71     for(int i=1;i<=m;i++)u=gi(),v=gi(),w=gi(),c=gi(),add(u,v,w,c);
72     while(bfs(s,t))
73     {
74         vis[t]=1;
75         while(vis[t])
76         {
77             memset(vis,0,sizeof(vis));
78             flow=dfs(s,inf);
79             ans+=flow;
80             fee+=flow*dis[s];
81         }
82     }
83     printf("%d %d",ans,fee);
84     return 0;
85 }

 

 

 

以上是关于P3381 模板最小费用最大流的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

P3381 模板最小费用最大流

最小费用最大流(luogu P3381 模板最小费用最大流)

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