主成分分析PCA

Posted dy9776

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了主成分分析PCA相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

PCA（Principal Component Analysis）不仅仅是对高维数据进行降维，更重要的是经过降维去除了噪声，发现了数据中的模式。

PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。

预备知识

样本X和样本Y的协方差(Covariance)：

 

Cov(X,Y)=∑ni=1(Xi−X¯¯¯¯)(Yi−Y¯¯¯¯)(n−1)Cov(X,Y)=∑i=1n(Xi−X¯)(Yi−Y¯)(n−1)

 

协方差为正时说明X和Y是正相关关系，协方差为负时X和Y是负相关关系，协方差为0时X和Y相互独立。

Cov(X,X)就是X的方差(Variance).

当样本是n维数据时，它们的协方差实际上是协方差矩阵（对称方阵），方阵的边长是C2nCn2。比如对于3维数据(x,y,z)，计算它的协方差就是：

 

C=cov(x,x)cov(y,x)cov(z,x)cov(x,y)cov(y,y)cov(z,y)cov(x,z)cov(y,z)cov(z,z)C=cov(x,x)cov(x,y)cov(x,z)cov(y,x)cov(y,y)cov(y,z)cov(z,x)cov(z,y)cov(z,z)

 

若AX=λXAX=λX，则称λλ是A的特征值，X是对应的特征向量。实际上可以这样理解：矩阵A作用在它的特征向量X上，仅仅使得X的长度发生了变化，缩放比例就是相应的特征值λλ。

当A是n阶可逆矩阵时，A与P-1Ap相似，相似矩阵具有相同的特征值。

特别地，当A是对称矩阵时，A的奇异值等于A的特征值，存在正交矩阵Q（Q-1=QT），使得：

对A进行奇异值分解就能求出所有特征值和Q矩阵。

A∗Q=Q∗DA∗Q=Q∗D,D是由特征值组成的对角矩阵

由特征值和特征向量的定义知，Q的列向量就是A的特征向量。

Jama包

Jama包是用于基本线性代数运算的java包，提供矩阵的cholesky分解、LUD分解、QR分解、奇异值分解，以及PCA中要用到的特征值分解，此外可以计算矩阵的乘除法、矩阵的范数和条件数、解线性方程组等。

PCA过程

1.特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值。这里的“维”指的就是一个特征（或属性），变换之后每一维的均值都变成了0。

很多数据挖掘的教材上都会讲到鹫尾花的例子，本文就拿它来做计算。原始数据是150×4的矩阵A：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
5.1     3.5     1.4     0.2
4.9     3.0     1.4     0.2
4.7     3.2     1.3     0.2
4.6     3.1     1.5     0.2
5.0     3.6     1.4     0.2
5.4     3.9     1.7     0.4
4.6     3.4     1.4     0.3
5.0     3.4     1.5     0.2
4.4     2.9     1.4     0.2
4.9     3.1     1.5     0.1
5.4     3.7     1.5     0.2
4.8     3.4     1.6     0.2
4.8     3.0     1.4     0.1
4.3     3.0     1.1     0.1
5.8     4.0     1.2     0.2
5.7     4.4     1.5     0.4
5.4     3.9     1.3     0.4
5.1     3.5     1.4     0.3
5.7     3.8     1.7     0.3
5.1     3.8     1.5     0.3
5.4     3.4     1.7     0.2
5.1     3.7     1.5     0.4
4.6     3.6     1.0     0.2
5.1     3.3     1.7     0.5
4.8     3.4     1.9     0.2
5.0     3.0     1.6     0.2
5.0     3.4     1.6     0.4
5.2     3.5     1.5     0.2
5.2     3.4     1.4     0.2
4.7     3.2     1.6     0.2
4.8     3.1     1.6     0.2
5.4     3.4     1.5     0.4
5.2     4.1     1.5     0.1
5.5     4.2     1.4     0.2
4.9     3.1     1.5     0.1
5.0     3.2     1.2     0.2
5.5     3.5     1.3     0.2
4.9     3.1     1.5     0.1
4.4     3.0     1.3     0.2
5.1     3.4     1.5     0.2
5.0     3.5     1.3     0.3
4.5     2.3     1.3     0.3
4.4     3.2     1.3     0.2
5.0     3.5     1.6     0.6
5.1     3.8     1.9     0.4
4.8     3.0     1.4     0.3
5.1     3.8     1.6     0.2
4.6     3.2     1.4     0.2
5.3     3.7     1.5     0.2
5.0     3.3     1.4     0.2
7.0     3.2     4.7     1.4
6.4     3.2     4.5     1.5
6.9     3.1     4.9     1.5
5.5     2.3     4.0     1.3
6.5     2.8     4.6     1.5
5.7     2.8     4.5     1.3
6.3     3.3     4.7     1.6
4.9     2.4     3.3     1.0
6.6     2.9     4.6     1.3
5.2     2.7     3.9     1.4
5.0     2.0     3.5     1.0
5.9     3.0     4.2     1.5
6.0     2.2     4.0     1.0
6.1     2.9     4.7     1.4
5.6     2.9     3.6     1.3
6.7     3.1     4.4     1.4
5.6     3.0     4.5     1.5
5.8     2.7     4.1     1.0
6.2     2.2     4.5     1.5
5.6     2.5     3.9     1.1
5.9     3.2     4.8     1.8
6.1     2.8     4.0     1.3
6.3     2.5     4.9     1.5
6.1     2.8     4.7     1.2
6.4     2.9     4.3     1.3
6.6     3.0     4.4     1.4
6.8     2.8     4.8     1.4
6.7     3.0     5.0     1.7
6.0     2.9     4.5     1.5
5.7     2.6     3.5     1.0
5.5     2.4     3.8     1.1
5.5     2.4     3.7     1.0
5.8     2.7     3.9     1.2
6.0     2.7     5.1     1.6
5.4     3.0     4.5     1.5
6.0     3.4     4.5     1.6
6.7     3.1     4.7     1.5
6.3     2.3     4.4     1.3
5.6     3.0     4.1     1.3
5.5     2.5     4.0     1.3
5.5     2.6     4.4     1.2
6.1     3.0     4.6     1.4
5.8     2.6     4.0     1.2
5.0     2.3     3.3     1.0
5.6     2.7     4.2     1.3
5.7     3.0     4.2     1.2
5.7     2.9     4.2     1.3
6.2     2.9     4.3     1.3
5.1     2.5     3.0     1.1
5.7     2.8     4.1     1.3
6.3     3.3     6.0     2.5
5.8     2.7     5.1     1.9
7.1     3.0     5.9     2.1
6.3     2.9     5.6     1.8
6.5     3.0     5.8     2.2
7.6     3.0     6.6     2.1
4.9     2.5     4.5     1.7
7.3     2.9     6.3     1.8
6.7     2.5     5.8     1.8
7.2     3.6     6.1     2.5
6.5     3.2     5.1     2.0
6.4     2.7     5.3     1.9
6.8     3.0     5.5     2.1
5.7     2.5     5.0     2.0
5.8     2.8     5.1     2.4
6.4     3.2     5.3     2.3
6.5     3.0     5.5     1.8
7.7     3.8     6.7     2.2
7.7     2.6     6.9     2.3
6.0     2.2     5.0     1.5
6.9     3.2     5.7     2.3
5.6     2.8     4.9     2.0
7.7     2.8     6.7     2.0
6.3     2.7     4.9     1.8
6.7     3.3     5.7     2.1
7.2     3.2     6.0     1.8
6.2     2.8     4.8     1.8
6.1     3.0     4.9     1.8
6.4     2.8     5.6     2.1
7.2     3.0     5.8     1.6
7.4     2.8     6.1     1.9
7.9     3.8     6.4     2.0
6.4     2.8     5.6     2.2
6.3     2.8     5.1     1.5
6.1     2.6     5.6     1.4
7.7     3.0     6.1     2.3
6.3     3.4     5.6     2.4
6.4     3.1     5.5     1.8
6.0     3.0     4.8     1.8
6.9     3.1     5.4     2.1
6.7     3.1     5.6     2.4
6.9     3.1     5.1     2.3
5.8     2.7     5.1     1.9
6.8     3.2     5.9     2.3
6.7     3.3     5.7     2.5
6.7     3.0     5.2     2.3
6.3     2.5     5.0     1.9
6.5     3.0     5.2     2.0
6.2     3.4     5.4     2.3
5.9     3.0     5.1     1.8

每一列减去该列均值后，得到矩阵B：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
-0.743333       0.446       -2.35867        -0.998667      
-0.943333       -0.054      -2.35867        -0.998667      
-1.14333        0.146       -2.45867        -0.998667      
-1.24333        0.046       -2.25867        -0.998667      
-0.843333       0.546       -2.35867        -0.998667      
-0.443333       0.846       -2.05867        -0.798667      
-1.24333        0.346       -2.35867        -0.898667      
-0.843333       0.346       -2.25867        -0.998667      
-1.44333        -0.154      -2.35867        -0.998667      
-0.943333       0.046       -2.25867        -1.09867       
-0.443333       0.646       -2.25867        -0.998667      
-1.04333        0.346       -2.15867        -0.998667      
-1.04333        -0.054      -2.35867        -1.09867       
-1.54333        -0.054      -2.65867        -1.09867       
-0.0433333      0.946       -2.55867        -0.998667      
-0.143333       1.346       -2.25867        -0.798667      
-0.443333       0.846       -2.45867        -0.798667      
-0.743333       0.446       -2.35867        -0.898667      
-0.143333       0.746       -2.05867        -0.898667      
-0.743333       0.746       -2.25867        -0.898667      
-0.443333       0.346       -2.05867        -0.998667      
-0.743333       0.646       -2.25867        -0.798667      
-1.24333        0.546       -2.75867        -0.998667      
-0.743333       0.246       -2.05867        -0.698667      
-1.04333        0.346       -1.85867        -0.998667      
-0.843333       -0.054      -2.15867        -0.998667      
-0.843333       0.346       -2.15867        -0.798667      
-0.643333       0.446       -2.25867        -0.998667      
-0.643333       0.346       -2.35867        -0.998667      
-1.14333        0.146       -2.15867        -0.998667      
-1.04333        0.046       -2.15867        -0.998667      
-0.443333       0.346       -2.25867        -0.798667      
PCL：主成分分析（PCA）原理与实现

主成分分析PCA

主成分分析-PCA

主成分分析(PCA）

主成分分析（PCA）

详解主成分分析PCA

(c)2006-2024 SYSTEM All Rights Reserved IT常识