上一篇文章讲了傅立叶变换的本质。这篇文章会总结一下傅立叶变换的常用性质，公式巨多，慎入！慎入！
相关概念
首先，回顾一下傅立叶变换的公式：
\\[F(u)=\\frac{1}{M}\\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-2j\\pi (ux/M)}
\\]
频谱(spectrum)
由上面的公式可以看出，傅立叶变换得到的系数 \\(F(u)\\) 是一个复数，因此可以表示为：\\(F(u)=R(u)+jI(u)\\)，其中，\\(R(u)\\) 是实部，\\(I(u)\\) 是虚部。傅立叶变换的频谱被定义为：
\\[|F(u)|=\\sqrt{R^2(u)+I^2(u)}
\\]
相位谱(phase)
根据欧拉公式，我们知道 \\(R(u)\\) 代表的是一个余弦值，而 \\(I(u)\\) 则是正弦值。如果把 \\(F(u)\\) 看作一个向量 \\((R(u), I(u))\\)，则这个向量的夹角为 \\(\\phi(u)=\\arctan{[\\frac{I(u)}{R(u)}]}\\)。这个夹角也被称为相位谱。
能量谱(power)
能量谱其实就是频谱的平方：\\(P(u)=|F(u)|^2=R^2(u)+I^2(u)\\)。
常用性质
周期性
所谓周期性，即：
\\[F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N)
\\]
证明如下：
\\[\\begin{eqnarray}
F(u+M,v+N)&=&\\frac{1}{MN}\\sum_{x=0}^{M-1}\\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\\pi [(u+M)x/M+(v+N)/N]} \\\\
&=&\\frac{1}{MN}\\sum_{x=0}^{M-1}\\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\\pi [(u+M)x/M+(v+N)y/N]} \\\\
&=&\\frac{1}{MN}\\sum_{x=0}^{M-1}\\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\\pi (ux/M+vy/N)}e^{-j2\\pi (x+y)}
\\end{eqnarray}
\\]
注意，\\(e^{-j2\\pi (x+y)}={(e^{-j2\\pi})}^{x+y}=1^{(x+y)}=1\\)，所以
\\[F(u+M,v+N)=\\frac{1}{MN}\\sum_{x=0}^{M-1}\\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\\pi (ux/M+vy/N)}=F(u,v)
\\]
类似地，可以推出
\\[f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)
\\]
共轭对称性
回忆一下，在复数域中，共轭指的是虚部取反。即 \\(z=x+jy\\) 的共轭是 \\(z*=x-jy\\)。
在傅立叶变换中，存在以下共轭对称性：
\\[F(u,v)=F*(-u,-v)
\\]
证明如下：
\\[\\begin{eqnarray}
F*(-u,-v)&=&\\frac{1}{MN}\\sum_{x=0}^{M-1}\\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{ux/M+vy/N} \\\\
&=&\\frac{1}{MN}\\sum_{x=0}^{M-1}\\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)[\\cos{[2\\pi (ux/M+vy/N)]}-j\\sin{[2\\pi(ux/M+vy/N)]}] \\text{（注意共轭）} \\\\
&=&F(u,v)
\\end{eqnarray}
\\]
那么这个性质有什么用呢？注意，\\(|F*(-u,-v)|=|F(-u,-v)|\\)，换句话说，\\(|F(u,v)|=|F(-u,-v)|\\)。
要知道，\\(|F(u,v)|\\) 表示的是傅立叶频谱图，所以，共轭对称性表明，傅立叶的频谱图是中心对称的。
具体地，下图所示的傅立叶频谱图，四个对角上的能量是沿图片中心对称的。
平移性
平移性指的是：
\\[f(x-x_0,y-y_0) \\Leftrightarrow F(u,v)e^{-j2\\pi (ux_0/M+vy_0/N)} \\tag{1}
\\]
这个等价关系的意思是说，如果原图 \\(f(x,y)\\) 平移了 \\((x_0,y_0)\\) 个单位，那么平移后的图像对应的傅立叶变换为 \\(F(u,v)e^{-j2\\pi (ux_0/M+vy_0/N)}\\)，即在原来 \\(F(u,v)\\) 的基础上乘上 \\(e^{-j2\\pi (ux_0/M+vy_0/N)}\\)。
这个公式的证明很简单。平移前的公式为：
\\[f(x,y)=\\sum_{u=0}^{M-1}\\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\\pi (ux/M+vy/N)}
\\]
现在，原图的像素由 \\((x,y)\\) 平移到 \\((x-x_0,y-y_0)\\)，因此，我们只需要将 \\((x-x_0,y-y_0)\\) 代入上式即可：
\\[\\begin{eqnarray}
f(x-x_0,y-y_0)&=&\\sum_{u=0}^{M-1}\\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\\pi [(x-x_0)u/M+(y-y_0)v/N]} \\\\
&=&\\sum_{u=0}^{M-1}\\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-j2\\pi(ux_0/M+vy_0/N)}e^{j2\\pi (ux/M+vy/N)}
\\end{eqnarray}
\\]
在保持原来的基底向量不变的情况下，我们只需要将傅立叶系数变成 \\(F(u,v)e^{-j2\\pi(ux_0/M+vy_0/N)}\\) 即可。
同样的，如果频谱图发生平移，有如下关系成立：
\\[F(u-u_0,v-v_0)\\Leftrightarrow f(x,y)e^{j2\\pi (u_0 x/M+v_0 y/N)} \\tag{2}
\\]
证明的方法是类似的。
从平移关系中，我们可以得到一个很好的性质。注意，在复数中，有这样两个等式成立 \\(|e^{aj}e^{bj}|=|e^{aj}||e^{bj}|\\)、\\(|e^{jx}|=1\\)（不懂的请复习复数相关的内容）。应用到上面的结论，即 \\(|F(u,v)e^{-j2\\pi (ux_0/M+vy_0/N)}|=|F(u,v)|\\)。换句话说，原图平移后，傅立叶频谱图不变。
例如，对于下面两幅图（为了保持图片大小不变，我们在图片外围补了一层 ‘0’ 边界）：
它们对应的傅立叶频谱图都是这个样子的：
注意，四个角上的白点代表低频信号的分量。
另外，我们平时经常用的中心化操作也依赖于平移性和周期性。
所谓中心化，就是将频谱图平移 \\((M/2, N/2)\\) 个单位。由平移性的公式 (2)，可以得到：
\\[\\begin{eqnarray}
F(u-\\frac{M}{2},v-\\frac{N}{2}) &\\Leftrightarrow& f(x,y)e^{j2\\pi (\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{2}y)} \\\\
&=&f(x,y)e^{j\\pi(x+y)} \\\\
&=&f(x,y){e^{j\\pi}}^{(x+y)} \\\\
&=&f(x,y)(-1)^{x+y}
\\end{eqnarray}
\\]
所以，我们只要对原图的每个像素乘以 \\((-1)^{x+y}\\)，然后进行傅立叶变换，这样得到的频谱图便是中心化后的频谱图了。
如果对上一幅频谱图中心化，则可以得到：
这么做的目的是为了方便肉眼观察。中心化后，频谱图中心对应的便是低频分量，远离中心的，则是高频分量。
卷积定理
卷积定理表述为：
\\[f(x,y)*h(x,y) \\Leftrightarrow F(u,v)H(u,v) \\\\
F(u,v)*H(u,v) \\Leftrightarrow f(x,y)h(x,y)
\\]
（注意，右边式子表示的是矩阵的点乘运算，而不是矩阵乘法）
它的意思是说，在空间域内进行卷积运算，跟把它们转换到频率域再进行点乘运算，效果是等价的。
要证明这个定理，首先要知道卷积的定义（关于卷积的定义，可以参考这篇知乎的回答）：
\\[f(x,y)*h(x,y)=\\sum_{m=0}^{M-1}\\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)
\\]
然后，我们对等式两边同时进行傅立叶变换（注意，傅立叶变换是针对x、y进行的，m、n相关的式子可以看作常数）：
\\[\\begin{eqnarray}
F[f(x,y)*h(x,y)]&=&F[\\sum_{m=0}^{M-1}\\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)] \\\\
&=&\\sum_{m=0}^{M-1}\\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)F[h(x-m,y-n)] \\\\
\\end{eqnarray}
\\]
由之前的平移性，我们知道：\\(h(x-m,y-n)\\Leftrightarrow H(u,v)e^{-j2\\pi (um/M+vn/N)}\\) 。所以上式中的 \\(F[h(x-m,y-n)]=H(u,v)e^{-j2\\pi (um/M+vn/N)}\\)，这样，我们便得到：
\\[\\begin{eqnarray}
F[f(x,y)*h(x,y)]&=&\\sum_{m=0}^{M-1}\\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)F[h(x-m,y-n)] \\\\
&=&\\sum_{m=0}^{M-1}\\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)H(u,v)e^{-j2\\pi (um/M+vn/N)} \\\\
&=&\\sum_{m=0}^{M-1}\\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2\\pi (um/M+vn/N)} H(u,v) \\\\
&=&F(u,v)H(u,v)
\\end{eqnarray}
\\]
上面的 \\(\\sum_{m=0}^{M-1} \\sum_{n=0}^{N-1} f(m,n)e^{-j2\\pi (um/M+vn/N)}\\) 刚好凑成一个傅立叶变换 \\(F(u,v)\\)。所以我们最终证明：\\(f(x,y)*h(x,y) \\Leftrightarrow F(u,v)H(u,v)\\)。
另一个式子 \\(F(u,v)*H(u,v) \\Leftrightarrow f(x,y)h(x,y)\\) 的证明是类似的。
参考