雅礼集训DAY 6 T1 xmasdag

Posted 2020-10-20 蒟蒻JHY

 

    感谢gryz的mly大好人再次给我提供了题目和数据。

    和昨晚那个题几乎一样，都是x^n最后转化成第二类斯特林数*阶乘*Σ(和路径长度有关的组合数)，而因为组合数是可以利用Pascal公式实现O(1)递推的，所以最后的复杂度都降为O(NK)。

    随便推一下，

ANS(x)=Σ(p是1到x的一条路径) len(p)^k = Σ(h=1 to k) S(k,h) Σ(p是1到x的一条路径)P(len(p),h)= Σ(h=1 to k) S(k,h)*h!*Σ(p是1到x的一条路径)C(len(p),h)。

    所以我们设now[x][i]=Σ(p是1到x的一条路径)C(len(p),i)。

    因为保证了是个DAG且1可以到达所有节点，所以图中只有1的入度是0，然后我们直接从1开始拓扑排序就行了。

需要注意的是因为这个题只是求1到x的路径，所以除了now[1][0]，其他的now[x][0]一开始都是0，而不像昨天的那个题是求树上任意一个其他点到它的路径。

     (总感觉我脸黑常熟大的样子，如图)

 

 

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define maxn 100005
#define ha 998244353
#define pb push_back
using namespace std;
vector<int> g[maxn]; 
int ans,n,k,m,id[maxn];
int S[505][505],jc[505];
int q[maxn],hd=1,tl=0;
int now[maxn][505];

inline void init(){
    S[0][0]=1,jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=500;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*(ll)i%ha;
        for(int j=1;j<=500;j++) S[i][j]=((ll)S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*(ll)j)%ha;
    }
}

inline void solve(){
    q[++tl]=1,now[1][0]=1;
    int x,to;
    while(hd<=tl){
        x=q[hd++];
        for(int i=g[x].size()-1;i>=0;i--){
            to=g[x][i];
            now[to][0]+=now[x][0];
            if(now[to][0]>=ha) now[to][0]-=ha;
            for(int j=1;j<=k;j++){
                now[to][j]+=now[x][j];
                if(now[to][j]>=ha) now[to][j]-=ha;
                now[to][j]+=now[x][j-1];
                if(now[to][j]>=ha) now[to][j]-=ha;
            }
            
            if(!(--id[to])) q[++tl]=to;
        }
    }
}

int main(){
    freopen("xmasdag.in","r",stdin);
    freopen("xmasdag.out","w",stdout);
    
    init();
    
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    int uu,vv;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&uu,&vv);
        g[uu].pb(vv),id[vv]++;
    }
    
//    for(int i=1;i<=n;i++) now[i][0]=1;
    solve();
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=0;
        for(int j=1;j<=k;j++) ans=((ll)ans+S[k][j]*(ll)jc[j]%ha*(ll)now[i][j])%ha;
        printf("%d\\n",ans);
    }
    
    return 0;
}