代码以后再补
欧拉函数
我们用$\phi(n)$表示欧拉函数
定义：$\phi(n)$表示对于整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数
性质
1.$\phi(n)$为积性函数
2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$
3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$
计算方法
假设我们需要计算$\phi(n)$
分情况讨论
1.当$n=1$时
很明显，答案为$1$
2.当$n$为质数时
根据素数的定义,答案为$n-1$
(仅有$n$与$n$不互质)
3.当$n$为合数时
我们已经知道了$n$为素数的情况
不妨对$n$进行质因数分解
设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}$
假设$k=1$
那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$
证明:
考虑容斥，与一个数互素的数的个数就是这个数减去与它不互素的数的个数
因为$p$是素数，所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$....$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个
得证
当$k\neq 1$时
$$\phi(n)$$
$$=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots }_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$
$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$
$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$
$$=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$
4.Euler筛法
因为欧拉函数是积性函数
因此可以使用线性筛法