乱记结论之OI常用四大数列

Posted 2020-10-19 Blue233333

一、斐波那契数列

$f(0)=1,f(1)=1,f(i)=f(i-1)+f(i-2) \\ \\ \\ \\ (i>=2)$

经典的解释是兔子生小孩，第0年一对兔子，一对兔子需要一年长大，后面每年都生小孩，每次刚好生一对，问第i年有多少只。就这么算。

经典的应用是矩阵乘法！稍微写一下：

\\begin{vmatrix}
1 & 1 \\\\
1 & 0
\\end{vmatrix} * \\begin{vmatrix}
f(i) \\\\
f(i-1)
\\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix}
f(i+1)\\\\
f(i)
\\end{vmatrix}

二、卡特兰数

$C(0)=C(1)=1,C(n)=\\sum_{k=0}^{n-1} C(k)C(n-k-1)$

$C(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)$

$C(n)=C(n-1)*(4*n-2)/(n+1)$

例子多了。出入栈序列，划分三角形，走格子不越过对角线，等等。

两种理解方式：分治，分成两个部分变成式一；计数，在瞎构造的序列中挑掉不合法的，对应方案是把第一个遇到不合法的位置以前全部取反，后面不变，建立一个和C(2n,n-1)的对应关系。

三、贝尔数

$B(n)=\\sum_{k=0}^{n-1} C(n-1,k)B(k)$

贝尔数是第二类斯特林数的一行的和，直接用上面方法可nlogn求一个贝尔数。

如果要求一系列贝尔数，考虑最后一个元素所在集合大小，有$f(i)=\\sum_{k=1}^{i} C_{i-1}^{k-1}f(i-k)$，一卷积，前面对后面有贡献，可CDQ+FFT在$nlog^2n$时间求解。

贴图都是不懂的。

三点五、范德蒙恒等式

$C_{n+m}^k=\\sum_{i=0}^{k}C_n^iC_m^{k-i}$

证明用生成函数。

四、斯特林数

第二类：s(n,m)--n个元素分到m个相同盒子，$s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*m$

还可以这么玩：不考虑是否空盒子，那答案就$\\frac{m^n}{m!}$，然后容斥一下，枚举几个空盒子，$s(n,m)=\\frac{1}{m!}*\\sum_{i=0}^{m}(-1)^iC_m^i(m-i)^n$，后面一卷积，可用多项式乘法得一行斯特林数。

他喜欢和指数玩：$i^j=\\sum_{k=1}^{j}S(j,k)k!C_i^k$

第一类：s(n,m)--n个元素排成m个圈圈，$s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)$，排在每个数的左边。

五、默慈金数

$M(n)$--一个圆上n个点，问点间连线不相交的方案。或者在坐标轴上，一步之内可以往左往右或不动，问最后到原点的方案。

一、$M(n+1)=M(n)+\\sum_{i=0}^{n-1}M(i)M(n-1-i)=\\frac{(2n+3)M(n)+3nM(n-1)}{n+3}$

二、$M(n)=\\sum_{i=0}^{\\left \\lfloor \\frac{n}{2} \\right \\rfloor}C_n^{2i}Cat(i)$

（不是很懂这字咋变小了）