[Luogu3455][POI2007]ZAP-Queries

Posted 2020-10-19 租酥雨

BZOJ（权限题）
Luogu
题目描述
Byteasar the Cryptographer works on breaking the code of BSA (Byteotian Security Agency). He has alreadyfound out that whilst deciphering a message he will have to answer multiple queries of the form"for givenintegers aaa, bbb and ddd, find the number of integer pairs (x,y) satisfying the following conditions:
1≤x≤a,1≤y≤b,gcd(x,y)=d, where gcd(x,y)is the greatest common divisor of x and y".
Byteasar would like to automate his work, so he has asked for your help.
TaskWrite a programme which:
reads from the standard input a list of queries, which the Byteasar has to give answer to, calculates answers to the queries, writes the outcome to the standard output.
FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。
输入输出格式
输入格式：
The first line of the standard input contains one integer nnn (1≤n≤50 000),denoting the number of queries.
The following nnn lines contain three integers each: aaa, bbb and ddd(1≤d≤a,b≤50 000), separated by single spaces.
Each triplet denotes a single query.
输出格式：
Your programme should write nnn lines to the standard output. The iii\'th line should contain a single integer: theanswer to the iii\'th query from the standard input.
输入输出样例
输入样例#1：
2
4 5 2
6 4 3
输出样例#1：
3
2

sol

参见莫比乌斯反演总结中的举个栗子、骚操作以及奇技淫巧部分
这个题我们要求$$\\sum_{i=1}^{{a}\\sum_{j-1}}{b}[gcd(i,j)==d]$$
首先使用骚操作把式子化成

\\[\\sum_{i=1}^{a/d}\\sum_{j=1}^{b/d}[gcd(i,j)==1] \\]

以下令\\(a/d=n\\)，\\(b/d=m\\)，且\\(n\\le m\\)。
接着设两个函数\\(f(x)\\)，\\(F(x)\\)，其中

\\[f(x)=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j-1}^{m}[gcd(i,j)==x] \\]

\\[F(x)=\\sum_{x|d}^{n}f(d) \\]

那么我们可以手动脑补出这个关系

\\[F(x)=\\lfloor\\frac nx\\rfloor\\lfloor\\frac mx\\rfloor \\]

所以\\(F(x)\\)是可以\\(O(1)\\)算的，处理出全部的\\(F(x)\\)，总时间复杂度是\\(O(n)\\)
又根据莫比乌斯反演可得

\\[f(x)=\\sum_{x|d}^{n}\\mu(\\frac dx)F(d) \\]

因为我们需要求的是\\(f(1)\\)所以把\\(x=1\\)代入得

\\[f(1)=\\sum_{d=1}^{n}\\mu(d)F(d) \\]

所以我们只要搞出所有的\\(F(x)\\)跟所有的\\(\\mu(x)\\)就可以了
但是每组数据都这么搞一遍，\\(O(Tn)\\)的时间复杂度承受不了啊怎么办。
这里就运用到奇技淫巧中提到的数论分块。
可以证明，\\(F(x)\\)在\\([1,n]\\)上只有\\(O(\\sqrt n)\\)种取值。
我们维护一个\\(\\mu(x)\\)的前缀和，然后把\\(F(x)\\)值相同的放在一起算贡献。
总复杂度变为\\(O(T\\sqrt n)\\)
具体实现参见代码。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 50005;
const int n = 50000;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<\'0\'||ch>\'9\')&&ch!=\'-\') ch=getchar();
	if (ch==\'-\') w=0,ch=getchar();
	while (ch>=\'0\'&&ch<=\'9\') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-\'0\',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
int mu[N],pri[N],tot,s[N];
bool zhi[N];
void Mobius()
{
	zhi[1]=true;mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
		{
			zhi[i*pri[j]]=true;
			if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else {mu[i*pri[j]]=0;break;}
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+mu[i];
}
ll calc(int a,int b,int k)
{
	a/=k;b/=k;
	if (a>b) swap(a,b);
	int i=1,j;ll ans=0;
	while (i<=a)
	{
		j=min(a/(a/i),b/(b/i));
		ans+=1ll*(s[j]-s[i-1])*(a/i)*(b/i);
		i=j+1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int T=gi();
	Mobius();
	while (T--)
	{
		int a=gi(),b=gi(),k=gi();
		printf("%lld\\n",calc(a,b,k));
	}
	return 0;
}